Хулиномика 6.2. Элитно, подробно, подарочно! - Алексей Викторович Марков

фиксированную сумму какой-то период времени, а потом контракт заканчивается? Это и называется аннуитет. По нему выплачивается одинаковое количество денег каждый, например, месяц, – ну а потом перестаёт. Типичный пример – ипотека. Вы покупаете квартиру, занимаете деньги в банке и каждый месяц вносите одинаковый платёж.

Появился аннуитет потому, что стандартная схема (проценты каждый год – или месяц, – а в конце тело кредита) располагает к тому, чтоб в конце ничего не заплатить: это оказывается слишком напряжно, и люди в последний момент соскакивают.

Вопрос в том, сколько стоит аннуитет сейчас. Если вам каким-то чудом предложат получать по 1000 рублей в месяц на протяжении 10 лет, сколько вы заплатите такому Деду Морозу? Надеюсь, уже очевидно, что это меньше, чем 1 000 × 12 месяцев × 10 лет = 120 тысяч рублей. Ведь 120 вы отдаёте сейчас, а получаете их по тыще годами. Но сколько-то эта тема стоит? За 10 тыщ вы бы купили такой контракт? Я бы да. А за 50? Вот на этот вопрос я вас научу отвечать.

Стоит оно по-разному в зависимости от инфляции. Пусть инфляция у нас равна 1 % в месяц, а 10 лет – это 120 месяцев. Сумма аннуитетных платежей стоит вот сколько: платёж × (1–1 / (1 + ставка)кол-во платежей) / ставка.

Выходит, нашему деду вполне можно отвалить 1000 × (1–1 / (1 + 0.01)120)/0.01 = 69 700 рублей. То есть если инфляция все десять лет будет 12,7 % годовых или ниже (1 % в месяц в 12-й степени), то 69 700 рублей – вполне нормальная, годная цена за этот контракт. А если цена выше, ну тогда слишком дорого, платежи по 1 000 в месяц быстрее обесценятся. Лучше скорее эти 69 700 пропить, чем отдавать алчному Деду.

11.5. Корки и кости под ноги бросьте

Вернёмся к теории вероятностей. Расскажу ещё об одной задаче, совсем недавно её встретил, и она меня заинтересовала своей провокацией на ошибку. Представьте, что вам предлагают пари: бросить два кубика, и если на них выпали только 1, 2, 3 или 4, тогда вы выиграли. Но если там есть 5 или 6, тогда вы проиграли. Вам предлагают поставить на такой эксперимент 10 долларов. Соглашаться или нет?

Многим кажется: ну как же так, понятно, что 5 и 6 выпадает в два раза реже, чем 1, 2, 3 и 4. Пять и шесть всего в ⅓ случаев, а 1, 2, 3 и 4 – в ⅔ случаев. Конечно, надо соглашаться. В чём здесь подвох?

Дело в том, что достаточно лишь одной пятёрки или шестёрки из двух кубов, чтобы проиграть пари. Всего у броска двух костей 6 × 6 = 36 исходов, но для выигрыша нам подходит только 16 из них: когда на первом кубике выпадает 1, 2, 3, 4, и на втором – тоже одна из этих цифр. Если все возможные исходы представить в виде таблицы 6 на 6, получится, что пятёрка-шестёрка со второго кубика портят целый ряд 1-2-3-4 первого кубика, и наоборот.

Выходит, что шансы того, что с двух кубов выпадет ровно одна пятёрка либо шестёрка, такие же, как и что не выпадет, – 16 вариантов. Но есть же ещё 4 варианта, когда на обоих кубиках выпадают только пятёрки и шестёрки. В итоге получается, что выигрываем мы в 16 случаях из 36, а проигрываем – в 20. Вероятность выиграть такое пари – 4/9, или около 44 %, а проиграть – 5/9 – около 56 процентов.

Есть ещё один быстрый способ посчитать вероятность выигрыша. Так как два кубика независимые, надо просто перемножить вероятности того, что 5 и 6 не выпадут. Это ⅔ × ⅔, то есть 0,662 = 0,44.

Посчитаем матожидание при ставке 10 долларов: $10 × 4/9 – $10 × 5/9= – $1,11, минус доллар с гривенником и центом сверху. Так что теперь вас таким пари не обмануть. Тут вам повезло.

11.6. Парадокс дня рождения и правило 72

В этой задачке я не буду никого заставлять считать, просто хочу рассказать о распространённом заблуждении; его полезно иметь в виду, когда мы думаем о вероятности какого-то набора событий.

Парадокc дня рождения заключается в том, что в группе из 23 человек вероятность того, что у двоих людей совпадут дни рождения, составляет больше 50 процентов. То есть, если вокруг 22 человека (лучше больше), можно смело делать ставку на то, что у кого-то из вас дни рождения совпадут; матожидание такой ставки будет положительным. Что, конечно, не означает, что вы выиграете пари.

Почему нам трудно в это поверить? Ответ математический: степени трудно осознать. Как визирь в древней задаче про шахматы и зёрнышки, мы и сейчас плоховато понимаем степенную функцию. Даже если мы подучились математике и статистике, это всё равно как-то непривычно. Вот пример неправильной логики: какова вероятность выпадения 10 решек подряд? Нетренированный мозг может составить примерно такую цепочку мыслей: одна решка – это 50 %. Две решки выбросить в два раза труднее, это 25 %. Ну а десять решек – в 10 раз труднее, ну то есть 5 %. Ну вот мы и обосрамились. Реальный шанс – это ½ в 10-й степени, то есть одна тысячадвадцатьчетвёртая, то есть чуть меньше десятой доли процента. Ошиблись немножко – в 50 раз.

Но даже после обучения мы обманываемся. Пять процентов годовых удвоят капитал не за 20 лет, а за 14. А 20 % годовых – быстрее, чем за 4 года. Так как у нас учебник по финансам, я вам раскрою секретный способ быстро узнать, какой срок потребуется на удвоение вашего капитала. Надо 72 поделить на ожидаемую доходность. Если доходность 6 процентов, надо 72 поделить на 6, и мы получим 12, то есть при дохе в 6 % капитал удвоится за 12 лет. Для более точного результата надо брать 69, но 72 удобнее делить на разные числа (не считая 23). Да и, кстати, с 14 % инфляцией за 5 лет мы теряем половину капитала. Ну или зарплаты, если её пять лет не повышают.

Так и вероятность совпадения дней рождения двух человек в любой день года (1/365 = 0,27 %), умноженная на число человек в группе из 23, даёт лишь 23/365 = 6.3 %. Это рассуждение неверно, так как число возможных пар (а их целых 253) значительно превышает число человек в группе.

Дело в том, что люди эгоистичны. Мы часто не думаем об окружающих. И правда, чего о них думать? В комнате, где находятся 23 человека, вы наверняка думаете о том, что именно ваш день рождения должен