Динамическое хеджирование: Управление риском простых и экзотических опционов - Нассим Николас Талеб

структуре волатильности). Большинство начинающих опционных трейдеров (и некоторые не слишком опытные ветераны) считают, что, продавая краткосрочные опционы, они могут получить больше на временно́м распаде при сопутствующих рисках. Гамма более длинного опциона ниже, чем у короткого, но то же самое относится и к временно́му распаду.

Альфа может зависеть от времени до экспирации, если уровень волатильности зависит от количества оставшихся дней. Если волатильность 3-месячного опциона ниже, чем 6-месячного, то альфа 6-месячного опциона будет отличаться от альфы 3-месячного. В противном случае она должна быть одинаковой.

Исключение затрат на поддержание позиции из уравнения, как говорилось ранее в этой главе, позволяет трейдеру получить чистую величину теты, не искаженную процентными ставками.

Правило управления рисками: альфа, которая ниже справедливого значения для короткой гамма-позиции или выше справедливого значения для длинной гамма-позиции, приведет к долгосрочным убыткам (по закону больших чисел)[163].

Табл. 10.1 показывает, что при 10 %-ной волатильности гамма должна стоить $1405 безотносительно независимо от срока экспирации.

Пример. Альфа для портфеля может дать неожиданный результат. В календарном спреде, когда 1-месячный опцион торгуется при 11 % волатильности в годовом исчислении, а 3-месячный – при 12 %, трейдер покупает 1-месячные коллы при деньгах на $100 млн по волатильности 11: итого положительная гамма 13,5 при затратах $22 950 в день.

Он продает 3-месячные коллы при деньгах на $100 млн: итого отрицательная гамма 7,5 при затратах $15 172 в день.

Чистая позиция будет длинной – 6 гамм при затратах $7780 в день.

Таким образом, альфа составляет $1297 за гамму. Согласно табл. 10.1, затраты трейдера таковы, что он достигает безубыточности даже при закрытии с волатильностью, близкой к 9,5, что в среднем составляет движение на 0,6 % в день.

Таблица греков

Маркетмейкеры обычно запоминают расчеты, приведенные в табл. 10.2 и 10.3. Они позволяют быстро сравнивать опционы без использования калькуляторов.

Для простоты процентные ставки не учитываются. Читатель должен предварительно представить значение веги, используя e–rt и задавая период в долях года.

Веса: определяются с использованием отношения квадратного корня из продолжительности периода. Это подход для тех, кто считает, что волатильность возвращается к среднему со скоростью.

Вега: классическая немодифицированная вега опциона при деньгах. Читатель может умножить продолжительность периода на свой собственный коэффициент, чтобы получить модифицированную вегу.

Гамма: вычисляется для волатильности 15 %. Для другой волатильности используйте обратное отношение: гамма обратно пропорциональна уровню волатильности.

Гамма при 10 % = гамма при 15 % × (15/10) = 1,5 × гамма при 15 %.

Тета: классическая немодифицированная тета для волатильности 15 %. Чтобы вычислить тету для другой волатильности, следует использовать отношение волатильностей:

Тета при 10 % = тета при 15 % × (10/15) = 0,667 × тета при 15 %.

Относительная вега: в табл. 10.3 показана связь веги с опционом при деньгах (по форварду). Вега 3-месячного опциона при деньгах берется из столбца «Вега» в табл. 10.2. Таким образом, читатель может вывести вегу опциона вне денег при условии, что он знает дельту.

Для опциона глубоко в деньгах относительная вега составляет 100 минус дельта соответствующего инструмента вне денег с тем же страйком. Паритет пут-колл позволяет вегам европейских опционов и всем вторым производным быть одинаковыми для путов и коллов с одним и тем же страйком.

Поскольку предполагается, что процентные ставки равны нулю, при повышении процентных ставок необходимо быть осторожными: разница между форвардными и наличными дельтами увеличивается. К сожалению, большинство опционных трейдеров изначально измеряют дельты в наличных.

Скрытность и здоровье

Эти упрощенные характеристики используются трейдерами, торгующими барьерными опционами[164]. Обе они имеют свои ограничения, т. к. не учитывают волатильность базового актива[165].

■ Скрытность соответствует разнице в процентах между страйком и триггером. Здоровье – это разница в процентах между текущей ценой спот (а не форвардом, как будет объяснено ниже) и триггером.

Скрытность используется как индикатор того, насколько опцион похож на ванильный. Чем выше скрытность, тем ближе опцион к обычному как в ценовом отношении, так и в профиле риска:

● Рынок торгуется по 100; 100 нокаут-колл на 0,00001 во всех отношениях похож на обычный 100 колл; 100 нокаут-колл на 300 (опасный обратный нокаут) также оценивается как обычный колл – разница не появится, пока цена базового актива не приблизится к 300.

● Стоимость 100 колла на 0,01 будет оценена, как будто опциона нет; 100 нокин-колл на 300 не будет вести себя таким же образом.

Здоровье является индикатором риска исполнения. Поскольку опционным трейдерам необходимо разворачивать хедж на барьере (и подходить как можно ближе к этой точке), это полезный инструмент управления рисками, который информирует их о близости исполнения. Как правило, предупреждающий сигнал наступает тогда, когда этот показатель опускается ниже одного стандартного отклонения. Некоторые путают здоровье с разницей между триггером и форвардом: опцион не переходит в состояние нокаут на форварде. Это относится только к редким форвардным нокаутам/нокинам.

Гораздо более эффективным индикатором является использование ожидаемой остановки (также называемой ожидаемым временем прибытия или первого выхода, как описано в главе 18).

Выпуклость, модифицированная выпуклость[166]

Здесь в простой форме рассматривается выпуклость, называемая также кривизной, с тем чтобы ввести идею общего поведения кривой доходности. Трейдеры узнают в этом разделе о том, что:

● выпуклость должна ассоциироваться с волатильностью соответствующего параметра;

● как это ни прискорбно для динамического хеджера, выпуклость присутствует везде.

■ Выпуклость инструмента характеризует нелинейность выплат при параллельном движении одного из параметров. При наличии такого эффекта инструмент называют выпуклым по отношению к параметру.

Хотя выпуклость первоначально относилась к облигациям, оказалось, что это понятие необходимо применять ко всем финансовым инструментам и к их чувствительности в отношении более чем одного параметра. Выпуклость производных ценных бумаг – поскольку их цена зависит от многих параметров – определяется как их вторая частная производная по отношению к конкретному параметру. Выпуклостью опциона по отношению к цене спот является его гамма. Опционы вне денег имеют выпуклость относительно волатильности и процентных ставок.

Выпуклость облигации по отношению к процентным ставкам (упрощенная)

y – годовая доходность, представленная как эквивалентная ставка, непрерывно начисляемая в сложных процентах;

t – срок (в данном случае 1 год);

i – количество лет;

Ci – денежный поток периода i;

B – цена облигации (дисконтированные купоны или выплаты);

Выпуклость опциона по отношению к базовому активу. Гамма – ∂2V/∂S2 для производной ценной бумаги. Данный параметр зависит от структуры, где V – цена дериватива, а S – базовый актив.

Выпуклость веги. Это ∂2V/∂σ2, где σ – подразумеваемая волатильность на рынке.

Выпуклость на рис. 10.4 – это эффект нелинейного изменения выплат в результате изменения доходности. В данном примере она увеличивается в результате 30-летнего срока погашения и отсутствия купона.

Выпуклость нелинейного дериватива. В табл. 10.4 приведен пример колла в точности при деньгах. Это европейский опцион точно при деньгах по форварду. На рис. 10.5 видно, что его вега линейна. В табл. 10.5 и 10.6 и на рис. 10.6 показана выпуклость веги опциона вне денег. В главе 15 обсуждается влияние выпуклости веги на ценообразование опционов.

Мастер опционов: обычная и модифицированная выпуклость

Обычная выпуклость – это мера чувствительности структуры к параметру. Этот показатель не подходит для целей сравнения, поскольку выпуклость 2-летней облигации (относительно доходности) вряд ли можно сравнивать с выпуклостью 10-летней облигации, т. к. ставки облигаций имеют разную волатильность.

Модифицированная выпуклость позволяет исправить этот недостаток путем перехода на относительную волатильность.

Примечание. Когда волатильность возрастает слишком сильно, все опционы становятся вогнутыми по отношению к ней, потому что каждый опцион ограничен ценой базового актива. Если базовый актив стоит 100, цена опциона не может превышать 100, иначе