Динамическое хеджирование: Управление риском простых и экзотических опционов - Нассим Николас Талеб

После Энгла поток моделей обрушился на академический мир, обогащая его более мощными инструментами. Боллерслев и Энгл обобщили модель до GARCH (как авторегрессионную, так и скользящую среднюю). Наиболее интересную разработку – E-GARCH (экспоненциальный GARCH) – представил Нельсон, который учел шоки волатильности при падении рынка.

Позднее появились более сложные GARCH-модели, построенные на осознании того факта, что к значимым шокам относятся те, что выходят за определенный порог или зависят от состояния рынка и т. д. Затем появилась модель N-GARCH (нелинейная), SWARCH (режим переключения) и другие. В модели H-GARCH (гетерогенная) используется шкала времени, аналогичная концепции растяжимого времени для опционного трейдера. Эти модели в чем-то приближаются к мнению опытного опционного трейдера, который считает, что прошлая информация о ценовом движении влияет на будущую волатильность, но сложным образом. Неявные наборы правил, которыми руководствуется трейдер, помогают ему сформировать более адекватное мнение, чем эти методы обработки данных. Это может объяснить, почему ARCH и ее собратья (даже в виде нейронной сети) никогда не имели влияния в торговом зале – они все еще представляют собой бледное подобие разума опытного трейдера. Подразумеваемая волатильность, по сути мнение трейдера, более эффективна, чем предсказания GARCH, за исключением тех случаев, когда происходят сжатия рынка, изменяющие подразумеваемые волатильности до ненормальных пропорций. Иначе модель применялась бы более успешно (см. Taleb, 1996a).

Наконец, одна из причин, по которой GARCH никогда не достигнет признания, заключается в том, что подразумеваемая волатильность содержит информацию, которая недоступна в прошлых ценах (например, запланированные выборы или публикация экономических данных), но которая является существенной при определении будущей волатильности. Внезапное объявление о встрече двух министров торговли, может, и не повлияет на валютную пару, но трейдеры знают, что результат встречи приведет к скачку (вверх или вниз, на ожиданиях деталей соглашения) – такой информации нет в прошлых ценах. По сути, волатильность замерзнет, т. к. рынок будет осторожничать до получения любой информации по итогам встречи. Таким образом, GARCH будет прогнозировать снижение волатильности.

Кроме того, определенная информация, которая была доступна в прошлых ценах (например, скачки курсов в связи с выборами), как представляется, не имеет никакого значения для будущей волатильности из-за ее неповторяющегося характера. Трейдер знает, как отфильтровать такие данные в своем предсказании волатильности, а эконометристы – нет. Как сообщество трейдеры пользуются накопленными почти за три десятилетия неписаными традициями и преданиями.

Вывод заключается в том, что в соревновании между компьютером и трейдером трейдер все еще имеет заметное преимущество.

α0 > 0 (обычно порядка 0,01 для дневных наблюдений), α1 + β1 < 1 (но обычно очень близко к 1).

Примечательным в GARCH является то, что и цена актива, и ее волатильность имеют один и тот же остаток («инновацию») Zt, с той разницей, что Zt возводится в квадрат при определении волатильности.

Мы видим, что β1 представляет собой коэффициент постоянной волатильности, в то время как α1 – это фактор GARCH-инновации, стохастический элемент. Чем выше коэффициент α1, тем толще хвосты распределения актива. В некотором смысле волатильность следует за процессом хи-квадрат, и при построении процесса, генерируемого им, виден ярко выраженный правый хвост. Короче говоря, распределение волатильности представляет положительную асимметрию (третий момент), а распределение актива – высокий эксцесс (т. е. отношение четвертого момента к квадрату второго момента).

Часть II

Измерение опционных рисков

Реальный мир и допущения модели блэка–шоулза–мертона

Правило управления рисками: при динамическом хеджировании с учетом формулы Блэка–Шоулза–Мертона лучше усовершенствовать простую, но проверенную модель, чем работать с более продвинутой, но новой моделью.

Лучше использовать модель с наименьшим количеством оцениваемых параметров.

Лучшие модели часто оборачиваются кошмаром. Опционные трейдеры и риск-менеджеры, когда пользуются моделью Блэка–Шоулза–Мертона в трейдинге, должны понимать допущения, на которые она опирается[132]. Все опытные трейдеры работают с одной моделью, и им комфортно с ней, поскольку они знают ее особенности. Несмотря на несовершенство формулы Блэка–Шоулза–Мертона, трейдеры отказались от альтернатив, потому что знакомы с ее ограничениями. Ни один опытный трейдер не откажется добровольно от этой хорошо изученной формулы ради другого инструмента ценообразования.

Формула Блэка–Шоулза–Мертона как почти непараметрическая система ценообразования

С данной моделью мы получаем единый инструмент измерения цены опциона. На ее базе трейдеры могут строить свои модели, внедряя в качестве неформальных улучшений дополнительные параметры, такие как «скачок», изменчивость волатильности, корреляция цены актива и процентных ставок, а также различные статистические оценки основного процесса. При использовании формулы для оценки большинства экзотических опционов необходимость в дополнительных параметрах может быть более выраженной.

При управлении рисками возникает еще одна проблема – точность предсказанных формулой Блэка–Шоулза–Мертона изменений цены опциона. Трейдеры должны работать с математическими производными формулы[133], встраивая модификации, которые варьируют от базовых правил до более полных многофакторных моделей.

Формула Блэка–Шоулза–Мертона основывается на пяти допущениях. Первые два имеют фундаментальный характер (неотделимы от сущности модели), следующие три являются параметрическими, или связанными с распределением (могут быть изменены без каких-либо значимых изменений в модели).

1. Процесс Ито (фундаментальное допущение). Он характеризуется случайной составляющей, которая независима и тождественно распределена (как и следует из понятия «броуновское движение»). Его главной характеристикой является утверждение, что поведение цен базового актива не имеет памяти. Понятие непрерывных цен не столь актуально (на это упирали ранние критики модели Блэка–Шоулза–Мертона). Непрерывное финансирование – это инструмент, а не философское утверждение.

2. Рынки без трения (фундаментальное допущение). В данной формуле нет ни транзакционных издержек, ни затрат на корректировку позиции, ни налогов, ни валютного контроля. Такое допущение, добавленное к предыдущему, подразумевает, что оператор может покупать и продавать базовый актив в любых количествах для корректировки дельты. Это приводит к полному отсутствию влияния функций полезности операторов на работу формулы. Существование транзакционных издержек неизбежно изменяет практику хеджирования отдельно взятого оператора, но не влияет на справедливую стоимость.

3. Постоянная волатильность (параметрическое допущение). Предполагается, что дневные вариации берутся из одного и того же распределения и что их дисперсия известна. Это приводит к постоянной корреляции между различными активами[134].

4. Геометрическое броуновское движение (допущение о распределении). Оно подразумевает (см. модуль B и главу 10), что движение активов является геометрическим – ожидаемая дисперсия логарифмов доходностей остается постоянной.

5. Постоянный (и известный) дрейф[135] (параметрическое допущение). С точки зрения трейдера, структура наклона форварда (forward slope) является постоянной.

Для уменьшения влияния этих допущений требуется серия корректировок. Прежде всего трейдерам необходимо оценить издержки.

● Допущение 1 необходимо корректировать в случае серьезной зависимости от последовательности цен, например в случае дыр ликвидности. Или, допустим, если выпуск опциона может повлиять на движение базового актива (как в случае портфельного страхования).

● Допущение 2, иногда ослабленное, означает, что опционные трейдеры не могут корректировать дельту после каждого микроизменения цены базового актива. Менее частая ребалансировка портфеля подразумевает менее точное отслеживание влияния теоретической стоимости на сделку, но это окажет влияние только в долгосрочной перспективе. Таким образом, оператор должен разделить понятия теоретической стоимости и фактической динамической репликации. Это означает, что стоимость может быть получена из модели непрерывного финансирования, но дельта должна быть дискретно вычислена[136].

● Допущение 3, пожалуй, проще всего скорректировать. Волатильность нестабильна, т. к. трейдеры делают на этом деньги (можно купить или продать волатильность на рынке). Это приводит к разрыву между исторической и подразумеваемой волатильностью. Нестабильность волатильности приводит к тому, что дельта теряет свое значение в качестве меры хеджирования (если она не модифицирована должным образом), а гамма – свою способность предсказывать изменения дельты. Однако иногда работу трейдера облегчает осознание существования связи между