Динамическое хеджирование: Управление риском простых и экзотических опционов - Нассим Николас Талеб

своих позиций.

где Vi – вега для интервала сроков исполнения, Fi – вес волатильности. Далее в главе обсуждаются сложности вычисления интервальной веги.

Для данных целей удобно использовать волатильность 3-месячного опциона как достаточно ликвидного, что приемлемо для риск-менеджера. Все опционы должны сравниваться по чувствительности с этой датой исполнения.

Как вычислить простые весовые коэффициенты

Самое главное в риск-менеджменте волатильности – это понимать необходимость взвешивания. Большинство методов, используемых операторами, несмотря на разные уровни сложности, дают одинаковые результаты.

«Теоретическое» взвешивание. Взвешивание волатильности по квадратному корню соответствующей номинальной длительности каждого срока исполнения трейдеры часто называют «теоретическим». Это означает, что долгосрочная волатильность постоянна и что опционы возвращаются к известному долгосрочному уровню со скоростью, обратно пропорциональной квадратному корню из времени

Такой подход основан на осознании существования постоянной долгосрочной волатильности, что отражается на цене самого долгого по сроку погашения опциона в портфеле. На рынках часто выясняется, что операторы ошибаются, поскольку волатильность индексов S&P100 и S&P500 претерпевает постоянное ослабление.

Метод расчета. Оператор выбирает ориентир, скажем 3-месячные опционы (как правило, наиболее ликвидный срок погашения), и взвешивает риски других месяцев относительно него, используя коэффициент длительности

Пример. Экспозиция веги в 1-месячном опционе будет в

раза больше, чем в 3-месячном опционе. Экспозиция веги в годовом опционе составит по отношению к 3-месячному опциону. Это означает, что $100 000 экспозиции веги в 1-месячном опционе эквивалентно $173 000 в 3-месячном опционе и $346 000 в годовом опционе.

Эмпирическое взвешивание. Весовые коэффициенты волатильности, полученные в результате наблюдения за поведением цен на рынке, называются эмпирическими.

Метод расчета. Оператор выбирает ориентир, скажем 3-месячные опционы, и взвешивает относительно него экспозиции других месяцев, используя относительную волатильность каждого периода. Типичную относительную волатильность можно получить, взяв следующее соотношение:

Измерения этими двумя методами обычно сходны, но с оговоркой – веса могут довольно неустойчивыми. Существует нелинейность, которую необходимо учитывать. Во время шока на рынках ближние опционы, как правило, более активно реагируют и движутся. Опционы дальних месяцев обычно ждут структурных изменений или подтверждения того, что изменение волатильности не было простым эмоциональным всплеском. Небольшие потрясения могут вызвать обратный эффект.

В табл. 9.1 приведены некоторые результаты исследования, проведенного автором[149], в котором изучались однодневные изменения волатильности (1988–1994 гг., 1400 наблюдений) с использованием данных о внебиржевых закрытиях. В ходе исследования было рассчитано отношение изменения волатильности однодневного периода к волатильности 3-месячного периода.

С использованием 10-дневных непересекающихся изменений (1988–1994 гг., 1390 наблюдений) были получены результаты, приведенные в табл. 9.2 (в виде отношения подразумеваемой волатильности изучаемого периода и 3-месячного периода) (рис. 9.3).

Таким образом, невероятное оказалось реальным: наблюдается такой сильный возврат к среднему, что долгосрочное среднее значение, похоже, падает после большого движения вверх и наоборот, о чем свидетельствует относительная стабильность годовых опционов.

Использование валют в исследовании дало ряд существенных преимуществ по сравнению с другими финансовыми инструментами. У основных валют есть развитый ликвидный внебиржевой рынок опционов, где эти инструменты котируются на срок 1 месяц, 2 месяца и т. д. В дополнение к значительной ликвидности валютные опционы котируются в параметрах подразумеваемой волатильности европейского опциона при деньгах, что снижает риск влияния некачественных данных. Такими данными может быть неправильная расчетная цена опциона, искажающая расчеты подразумеваемой волатильности. Инструменты, включенные в биржевой листинг, как правило, имеют фиксированные сроки экспирации, что усложняет исследование из-за необходимости использовать постоянные даты. В некоторые дни, например, до экспирации опциона, включенного в листинг, остается 15 дней, в другие – 33 дня, что может помешать исследованию.

Предупреждение. Хотя эта схема взвешивания применима к свопционам и опционам на облигации, операторы должны с особой осторожностью подходить к измерению веги для форвардных опционов, таких как евроинструменты (евромарки, евродоллары, евролиры и т. д.). Периоды соответствуют разным базовым инструментам с их собственными режимами волатильности.

Недостатком является то, что веса могут быть недостаточно стабильными, чтобы трейдер мог считать себя захеджированным. Это приводит к использованию числовой экспозиции, которая учитывает отслеживание колебаний между сроками погашения.

Продвинутый метод: ковариационная интервальная вега

Более современный метод оценки вега-рисков состоит в изучении ковариационной матрицы неперекрывающихся форвардных периодов. Перед началом анализа необходимо определить форвардную волатильность.

Форвардная подразумеваемая волатильность

■ Форвардная (или форвард-форвардная) подразумеваемая волатильность между двумя датами (t1 и t2) представляет собой ожидаемую волатильность между двумя периодами, вычисленную на основе цен опционов.

Далее мы обсудим обобщение форвардов, применимое для локальной волатильности Дюпира.

Правило управления рисками: для трейдеров, торгующих зависящими от пути опционами или опционами с отложенным стартом, крайне важно изучить вега-риски на форвардных интервалах.

Вычисление форвардной подразумеваемой волатильности

Все начинается с разложения времени на неперекрывающиеся фрагменты, которые соответствуют датам торгов на рынке (рис. 9.4).

За самую раннюю дату начала мы берем t0, которая в текущий момент равна 0. Мы определяем σt1, t2 как волатильность между двумя точками, t1 и t2. Таким образом, волатильность между t0 и tn будет той волатильностью, которая котируется на рынке за период. Соответственно, волатильность 90-дневного опциона тогда будет выражаться как σ0,90 × σ2(t0, tn), т. е. дисперсией.

Если бы мы использовали равные промежутки времени:

Или мы можем использовать неравномерные временны́е интервалы n1 до nn (более адекватный подход, т. к. рынки устанавливают цену для узких интервалов при очень близких датах и для более широких при дальних датах):

где σ2tn – 1, tn – дисперсия в годовом выражении между tn – 1 и tn. Разница между двумя точками может быть как месячной, так и просто минутной. Можно даже рассмотреть вариант, где t3 – t2 – это 1 час, а t4 – t3 – 1 месяц.

Следовательно, можно получить локальную волатильность между точками t1 и t2, зная волатильность между 0 и t1 и между t0 и t2:

Выбирая периоды tn–α и tn таким образом, чтобы цены на опционы, истекающие в эти даты, были доступными на рынке, можно получить следующее:

Трейдеры называют это форвардной волатильностью (или иногда форвард-форвардной волатильностью) между tn–α и tn.

Пример 1: девиация форвардной кривой.

t0 = 0 (текущий момент);

tn = 180 дней;

α = 90, тогда tn–α = 90 дней.

Волатильность за 90 дней и 180 дней на рынке составляет 17 % и 15,5 % соответственно. В обозначении будет использовано σ90 = 0,17 и σ180 = 0,155, что приводит к следующему решению:

Рынок оценивает волатильность в 13,84 % для периода от 3 до 6 месяцев.

Пример 2: генерация кривой форвардной волатильности. Начав с кривой спотовой волатильности, как показано в табл. 9.3, можно рассчитать форвардную волатильность. На рис. 9.5 и 9.6 показана разница