Динамическое хеджирование: Управление риском простых и экзотических опционов - Нассим Николас Талеб

и его снижения в случае (редких) периодов укрепления. Встроенный валютный опцион вступает игру только в таких областях.

Кроме того, ожидаемая доходность мексиканского песо находится далеко справа от начального курса, потому что мексиканский форвард торгуется со скидкой (доллар – с премией).

Предполагая, что однолетние форвардные ставки = CETES (упрощение, поскольку кривая доходности для облегчения анализа не рассматривается),

Mu = дифференциал процентных ставок. Пусть он составляет 0,225 % (разница между ставками по условиям для США и Мексики, если использовать только информацию, содержащуюся в описании сроков и условий).

Форвард Мексика = Спот exp (–Mu t) эквивалент 9,64 песо к доллару. Дополнительная информация о ценообразовании содержится в техническом примечании.

● Первый вывод, который можно сделать, таков: как и сказал продавец в начале истории, наша нота действительно содержит некий элемент опциональности (при отсутствии риска дефолта), потому что она не приносит никакой выплаты в большинстве областей карты, но может где-то дать выплату. В соответствии с правилом стохастического доминирования это должно стоить определенной премии.

● Следующий шаг состоит в том, чтобы оценить опциональность путем вычисления вероятности попадания в каждую точку на карте. На интуитивном уровне оператор уже понял, что в приподнятых областях такое попадание маловероятно.

Далее необходимо оценить вероятностную среду при высокой корреляции между двумя элементами, MXN-USD и CETES. На рис. 22.9 показана вероятность оказаться в каждой точке на рис. 22.8 при корреляции на уровне 75 %.

● Предупреждение. Осторожнее с корреляцией! Данная карта составлена на момент экспирации, и она требует учета корреляции за более продолжительный период. Использование дневной корреляции будет создавать белый шум, не имеющий большого значения для такого аномального рынка, как Мексика. Другой подход – использование коэффициента дисперсии – основан на том, что может иметь место смещение, связанное с частотой выборки: более короткие периоды выборки будут демонстрировать более низкую корреляцию. Наконец, повышающая корреляция обычно отличается от понижающей, как было показано в главе 15.

● Еще одно предупреждение. При определении справедливой стоимости нашей ценной бумаги следует внимательно относиться к горизонту. Учитывая, что оператор имеет дело либо с возвратом к среднему, либо с процессом с некоторой долей гетероскедастичности, следует предупредить его о рискованности предположения, что

(«квадратный корень из времени») всегда работает (т. е. дисперсия прямо пропорциональна временно́му горизонту). Поэтому понятие дневной измеряемой волатильности нельзя использовать для оценки окончательной выплаты (см. обсуждение этого вопроса в главе 6).

Читатель может мысленно объединить две карты и рассмотреть условный характер выплаты. Не нужны дополнительные математические расчеты, чтобы увидеть, что область к северо-востоку от «холма» демонстрирует повышенный риск дефолта – риск, который не вознаграждается. Действительно, более высокие процентные ставки, более слабая валюта и повышенный риск дефолта неразрывно связаны между собой.

Анализ чувствительности показывает следующее.

● Стоимость ноты статически растет при росте волатильности CETES или валюты. Это видно на карте: «холм» на рис. 22.10 будет становиться все выше и покрывать все больше зон выплат.

● Стоимость ноты статически растет при ослаблении корреляции между CETES и валютой. Вследствие этого пространство, занимаемое «холмом», становится менее вытянутым по диагонали (см. рис. 22.11).

Если бы Мексика определялась как смещенный актив, как в главе 15, оператор ожидал бы поведения рынка, зависящего от его режима рынка: волатильность Мексики росла бы в условиях паники, связанной с положением валюты в определенных точках на карте. Кроме того, согласно определению смещенного актива, понижающая корреляция выше повышающей вследствие отрицательного распределения Пуассона, влияющего как на ставки, так и на валютную пару[206]. Если бы обе корреляции определялись диффузией плюс отрицательным скачком, влияющим на ту и другую, стало бы очевидно, что валюта и ставки демонстрируют относительную независимость (диффузия и, следовательно, ослабление корреляции) вне периодов паники (скачков и, следовательно, высокой корреляции).

Необходимо подчеркнуть, что статический анализ производных греков в действительности бесполезен. Поэтому в нашем анализе мы не рассматриваем чувствительность.

Вывод таков: корреляционно-зависимые продукты, особенно связанные со смещенными активами, слишком сложны, чтобы прислушиваться к мнению обычного продавца.

Ценообразование ноты (для продвинутых читателей)[207]. USD-MXN – курс мексиканской валюты по отношению к доллару США (валюте расчетов).

где Mu = 0,225 – дифференциал процентных ставок, USD-MXN0 = 1/7,7, x – случайная величина c нормальным распределением с единичной дисперсией и средним значением 0, σM – волатильность пары MXN-USD (такая же, как пары USD-MXN).

Оператор должен рассматривать процесс MXN-USD, а не USD-MXN, поскольку валюта расчетов (на текущий момент) – доллар США с ожидаемой ставкой за период t:

где ρ(x) – центрированная функция нормальной плотности. Примечательно, что, если трейдер выберет в качестве валюты расчетов MXN-USD, то в качестве процесса он получит:

Таким образом, ожидания для USD-MXN составляют 9,645, в то время как для MXN-USD при волатильности валюты на уровне 35 % – 10,90. Вот вам еще один пример парадокса двух стран.

Что касается ставки CETES, трейдер использует формулу:

где d – дрейф ставки CETES, а ρ – ее корреляция с валютой.

Таким образом, справедливая стоимость ноты составит:

и она может быть рассчитана на основе стандартных методов ценообразования.

Глава 23

Второстепенные экзотические опционы: лукбэк- и азиатские опционы

Друг автора этой книги, интеллектуал и ветеран трейдинга, настроившись на философский лад после нескольких глотков отличного бордо, указал на бутылку и заметил: «Если у трейдера есть мозги, он, как хорошее вино, с возрастом становится только лучше. А плохой трейдер быстро прокисает и превращается в уксус».

В этой главе мы рассмотрим ряд экзотических опционов, которые, несмотря на множество посвященных им научных работ, с точки зрения трейдинга не являются чем-то принципиально новым. Мы называем их второстепенными, потому что бо́льшая часть информации о них была представлена в предыдущих главах, посвященных экзотическим опционам.

Лукбэк- и лестничные опционы

■ Лукбэк-опционы дают владельцу право в течение установленного периода продавать на максимумах или покупать на минимумах.

Соответственно, их еще называют опционами с плавающим страйком. Существуют и другие разновидности лукбэк-опционов, например опционы с фиксированной ценой страйк (владелец структуры держит опцион при деньгах, исполняющийся на максимуме за определенный период). Данную разновидность мы рассматривать не будем.

Основная проблема лукбэк-опционов заключается в том, что из-за их высокой цены они не торгуются в обычном порядке. Эти опционы действительно очень дороги – как правило, цена примерно в два раза выше премии обычного опциона.

Пример. Структура, представленная на рис. 23.1, позволяла владельцу продать на максимуме за определенный период. Максимум оказался на уровне 116,92. Владелец стал счастливым обладателем опциона пут с исполнением на уровне 116,92.

Существует множество методов анализа лукбэк-опционов с точки зрения управления рисками. Трейдеры, торгующие экзотическими инструментами, основанными на барьерных опционах, обычно не испытывают серьезных трудностей с пониманием экспозиции к перекосу волатильности, характерной для продукта.

Главный риск – гамма. Нетрудно заметить, что гамма опциона «односторонняя», т. к. она требует действий с одной стороны рынка. Лукбэк-опцион, достигающий максимума, скажем, на уровне 117 (как на рис. 23.1) и опускающийся ниже этого максимума, в действительности не будет отличаться серьезной гаммой для продавца, если рынок не достигнет нового максимума. Это называется односторонней гамма-экспозицией. В такой ситуации лукбэк напоминает барьерный опцион, где характер гаммы меняется за барьером.

Опцион ролловер

В целях управления