Динамическое хеджирование: Управление риском простых и экзотических опционов - Нассим Николас Талеб

Возможными валютами являются валюта A (используемая в качестве расчетной), валюта B и валюта C. Выражение v(A-B) используется для обозначения волатильности пары A против B.

Неравенство треугольника

v(A-B) + v(B-C) ≥ v(A-C).

Корреляция и волатильность. При ρ(A-B, A-C) корреляция пары A-B и пары B-C будет равна:

v(B-C)2 = v(A-B)2 + v(A-C)2 – 2ρ(A-B, A-C) v(A-B) v(A-C).

Пример:

v(USD-DEM) + v(DEM-FRF) ≥ v(USD-FRF).

(Это правило, судя по всему, часто нарушается.)

v(USD-FRF) + v(DEM-FRF) ≥ v(USD-DEM).

Это означает, что для трех наших пар ценных бумаг подразумеваемая волатильность между ними не может быть такой, при которой одна из подразумеваемых корреляций превышает 1 в абсолютном выражении.

Кроме того, согласно принципу загрязнения, никакая комбинация опционов не может быть комбинацией, дающей корреляцию выше 1 в абсолютном выражении.

Предупреждение. Это не является полным арбитражем (т. е. фиксированной прибылью или убытком), поскольку если прибыль/убыток комбинаций с расчетной валютой можно прогнозировать с уверенностью, то встречная позиция (в нашем случае DEM-FRF для оператора, ведущего расчеты в долларах США) может привести к прибыли/убытку, зависящим от поведения компонентов в отношении базовой валюты.

Обобщая вышесказанное, отметим, что матрица подразумеваемой ковариации (вытекающая из цен опционов при деньгах) должна быть положительно определенной (ее собственные значения должны быть положительно определенными). Это следствие разграничительных правил для мира трех валют. В противном случае оператор мог бы провести арбитраж, получив некоторую комбинацию опционов бесплатно (или в кредит).

v(USD-DEM) = σ1;

v(USD-FRF) = σ2.

Волатильность встречной пары (DEM-FRF) = волатильность пары FRF-DEM = σc.

Таким образом, получаем следующую ковариационную матрицу:

σ12 и σ21 – ковариация между USD-DEM и USD-FRF.

Нетрудно проверить, является ли матрица чистой, т. е. свободной от арбитража. Поскольку волатильность не может быть отрицательной, она должна быть положительно определенной, для чего требуется, чтобы ее собственные значения были положительными. В нашем примере аберрации матрицы 2 × 2 можно увидеть невооруженным глазом, но аберрации матрицы 20 × 20 потребуют компьютерной обработки.

В следующем примере существуют ограничения на один из элементов матрицы (если считать ее симметричной с ковариацией 1, 2 = ковариация 2, 1). Предположим, что волатильность USD-DEM составляет 14 %, а DEM-FRF (встречная позиция) – 4 %. Тогда ограничение для USD-FRF должно составлять от 10 % до 18 %. За пределами этого диапазона возможен арбитраж. Ниже 10 % оператор может купить волатильность USD-FRF и DEM-FRF и продать USD-DEM. Он будет полностью ограничен, поскольку эта операция эквивалентна короткой корреляции на уровне 1. Любое снижение корреляции двух валют в любое время будет выгодно трейдеру.

Аналогичным образом корреляцию покупки на уровне –1 можно улучшить путем покупки USD-DEM на уровне 14 %, покупки DEM-FRF на уровне 4 % и продажи USD-FRF на уровне 18 %. Любое повышение корреляции выше –1 приведет к прибыли.

Более сложную матрицу можно создать, добавив ценную бумагу. Теперь увидеть невооруженным глазом последствия ситуации без арбитража гораздо труднее.

Пусть актив 1 = USD-DEM, актив 2 = USD-FRF, актив 3 = USD-СHF, активы 12 и 21 = DEM-FRF, активы 13 и 31 = DEM-CHF, а неликвидные активы 23 и 32 = FRF-CHF. При волатильности USD-DEM на уровне 15 %, USD-FRF – 12 %, USD-CHF – 18 % и встречных позиций USD-FRF – 4 %, CHF-FRF – 6 % и DEM-CHF – 5 %, одно из собственных значений становится отрицательным числом, которое вызывает сигнал компьютера. Матрица, приведенная выше, неправильная. Арбитраж может быть построен с помощью комбинации опционов.

Помните, что существует достаточно валют, чтобы допустить какой-либо арбитраж или по крайней мере построить сделку с высокой ожидаемой доходностью.

Предупреждение. Правило положительных собственных значений не работает при сравнении подразумеваемых волатильностей опционов, не являющихся форвардными опционами при деньгах.

ПРАВИЛА ВЫПУКЛОСТИ КОРРЕЛЯЦИИ

Следующие несколько правил вытекают из принципа загрязнения.

На предыдущих примерах нетрудно понять, что структура, нацеленная на короткую высокую корреляцию (близкую к 1), т. е. такая, которая должна выигрывать от снижения корреляции, или на длинную низкую корреляцию (близкую к –1), сильнее структуры с корреляцией, которая ближе к 0 (при прочих равных условиях). Скажем, в мире трех активов трейдер платит 11 % за USD-FRF и 4 % за DEM-FRF и продает USD-DEM по 14 %. В действительности он заплатит эквивалент одной волатильности или продаст корреляцию на уровне 97 %. Здесь применима следующая формула:

с помощью которой получаем корреляцию ρ на уровне 0,97.

В реальном мире корреляции нестабильны. Поэтому сделка, у которой больше шансов выиграть на изменении корреляции, чем потерять от него, имеет более высокий рейтинг, чем сделка, имеющая обратные характеристики.

ОБЩИЕ ПРАВИЛА ВЫПУКЛОСТИ

Правило управления рисками: ценная бумага, являющаяся выпуклой по отношению к непостоянному параметру, будет при прочих равных условиях стоить дороже ценной бумаги, не являющейся столь же выпуклой по отношению к тому же параметру.

В среде с плоской кривой доходности и при условии, что дальние сроки исполнения имеют одинаковую волатильность, предпочтительно владеть облигацией с самой сильной выпуклостью.

Следствием является то, что портфель опционов, отличающийся симметричной вега-выпуклостью, стоит дороже аналогичного портфеля, не имеющего этой особенности.

Пример. Два портфеля характеризуются длинными вегами в размере $100 000 на 1 пункт волатильности (от 16 % вниз до 15 %). Вега портфеля A увеличивается при росте волатильности и уменьшается при ее падении, а вега портфеля B уменьшается при росте волатильности и увеличивается при ее снижении. Только с этой точки зрения опционы, составляющие портфель A, являются более ценными, чем опционы, составляющие портфель B.

Предпочтительно иметь закрытую вегу и владеть второй производной веги, чем позицию (через бинарные опционы, хеджированные ванильными), теряющую деньги при движении веги. Соответственно, последние инструменты считаются «неполноценными».

Правило управления рисками: портфель опционов, отличающийся симметричной выпуклостью своей веги по отношению к базовому активу A, стоит дороже аналогичного портфеля опционов с такой же симметричной выпуклостью по отношению к базовому активу B, если базовый актив B менее гетероскедастичен, чем базовый актив A.

Портфель опционов с длинной вегой через короткую продажу барьерного опциона менее ценен, чем портфель опционов с длинной вегой, за счет опционов вне денег.

На рис. F.1 показано различие между выпуклой и вогнутой вегами.

Модуль G

Ценообразование опционов

ОБЪЯСНЕНИЕ ЛЕММЫ ИТО

Лемма Ито – важный инструмент ценообразования опционов. В данном модуле мы не будем тратить много времени на теорию и постараемся дать эвристическое определение леммы максимально понятным практикам образом.

Суть метода Ито можно сформулировать следующим образом: функция случайного блуждания (несглаженная) является сглаженной и дифференцируемой. Причины отсутствия сглаженности подробно рассматриваются в модуле A, посвященном броуновскому движению в электронной таблице.

На интуитивном уровне мы уже вывели функцию случайного блуждания:

∆W = W(t + ∆t) – W(t) = μ(W, t)∆t + σ(W, t)∆Z(1),

где U(0, 1) – независимый процесс с нормальным распределением[228] со средним значением 0 и единичной дисперсией. Для краткости мы будем обозначать σ(W, t) и μ(W, t) как σ и μ.

Из уравнения (1) следует, что изменение W за период ∆t обуславливается дрейфом и стохастическим элементом, амплитуда которого определяется дисперсией.

Мы знаем, что независимо от того, насколько малое приращение ∆t мы выбираем, функция нигде не будет сглаженной. Она будет оставаться зубчатой и ни в каком сегменте не дифференцируемой. Ее можно сравнить с береговой линией, точную длину которой невозможно измерить из-за