Динамическое хеджирование: Управление риском простых и экзотических опционов - Нассим Николас Талеб

Возьмем настолько малые отрезки времени, чтобы любое меньшее приращение было равно 0. Все, что умножается на время, стремится к нулю.

В этом можно убедиться следующим образом:

E(∆W) = μ∆t, поскольку E(∆Z) = 0;

V(∆W) = E{(∆W) – E(∆W)2}2 = E{0 + σ2∆tU2},

поэтому

V(∆W) = σ2∆t.

Это подводит нас к таблице умножения Ито.

Отсюда следует, что уравнение (1) можно записать в виде так называемого процесса Ито:

dW = μ(W, t)dt + σ(W, t)dZ (2)

на пределе. Эту дифференциальную форму уравнения всегда следует рассматривать как стохастический интеграл в сокращенном виде, а не как истинное дифференциальное уравнение в частных производных.

Пусть F(W, t) – ценная бумага, являющаяся функцией W и времени. При разложении получаем:

Поскольку

1. В отличие от обычных методов вычисления стохастическое разложение не останавливается на dW, т. к. dW2 не стремится к нулю, как в случае с береговой линией, которая остается зубчатой при любом масштабировании, и

2. Все умноженное на dt стремится к нулю,

уравнение (3) можно записать следующим образом:

Разложение dW и (dW)2 дает:

Нетрудно понять, что от этого уравнения можно перейти к уравнению Блэка–Шоулза. В качестве первого шага рассмотрим dS/S как процесс Ито:

Рассмотрим процесс логарифмирования dS с помощью преобразования Ито:

Период St0 короче периода t (как правило, t0 – это текущий момент).

Отсюда следует:

В этой книге уравнение (7) применяется для большинства инструментов ценообразования опционов. Кроме того, уравнение (7) удовлетворяет уравнению:

поскольку правый интеграл в уравнении (8) – это генерирующая моменты функция М гауссовского распределения

Следовательно,

Таким образом, операторы могут перейти к ценообразованию опционов, используя следующие методы:

● концепцию дельта-нейтральности Блэка–Шоулза (Black-Scholes, 1973), позволяющую игнорировать кривую полезности операторов и возможные премии за риск, поскольку μ = r. Концепция будет рассмотрена ниже;

● более современный подход, опирающийся на обобщенную модель Харрисона и Крепса (Harrison and Kreps, 1979) и Харрисона и Плиски (Harrison and Pliska, 1981), позволяющую распространить указанную выше концепцию на любой тип условных требований при определенных условиях полноты рынка (поскольку задействованы все инструменты, влияющие на дериватив); кратко этот подход можно описать как позволяющий осуществлять полную репликацию путем динамического (следовательно, и статического) хеджирования;

● другие методы, такие как формула Фейнмана–Каца, используемая в современных финансах в сочетании с леммой Ито для выведения базового процесса на нейтральных к риску путях.

Решение в рамках модели Фейнмана–Каца большого класса стохастических дифференциальных уравнений как вероятностного ожидания функции при определенных условиях регулярности дрейфа и дисперсии (более подробно этот вопрос рассматривается в работе Дана и Жанблана-Пике) (см. Dana and Jeanblanc-Pique, 1994) позволяет операторам использовать для ценообразования опционов вероятностные методы, а не столь обременительные (и менее понятные на интуитивном уровне) дифференциальные уравнения в частных производных. Проще говоря, оператор может оценить опцион, не зависящий от пути (и большой класс опционов, мягко зависящих от пути, таких как барьерные), как ожидание конечной выплаты, предполагая, что цена актива следует за риск-нейтральной диффузией. Таким образом, решение выглядит как

exp(–r(t – t0)) EQ{f(S)}

для опциона, независимого от последовательности цен, и

exp(–r(t – t0))EQ{f(S)/t < τ}

для мягкого опциона последовательности цен (например, барьерного опциона), где Q – риск-нейтральная мера вероятности, f(S) – функция конечной выплаты, t – время до экспирации, и τ – момент остановки (при достижении барьера). Этот подход облегчает метод Монте-Карло (расчет среднеарифметического выигрыша в серии случайных путей). Его особое преимущество стоит в том, что он позволяет использовать численное интегрирование – метод, который, по мнению автора, чрезвычайно легко поддается программированию (благодаря широкодоступным стандартным программам). Численное интегрирование может потребовать более продолжительной работы за компьютером, но значительно сокращает затраты труда на программирование и дает меньшую частоту ошибок.

Оператор может заниматься своим делом, будучи уверенным в достижении риск-нейтральности E0(S(t)).

Лемма Ито: два актива

Лемму Ито нетрудно распространить на несколько активов (табл. G.l).

В данном примере процесс можно ускорить, показав результаты функции двух процессов Ито и времени:

где σ1 и σ2 – волатильность каждого актива W1 и W2, а ρ – корреляция между их движениями.

УРАВНЕНИЕ БЛЭКА–ШОУЛЗА

Концепция риск-нейтральности

Для начала нужно удалить из уравнения дрейф. Допустим, оператор продал европейский опцион колл C на дивидендный актив S и купил облигацию B[229]. Выплаты по облигации составляют r, по базовому активу – r, и актив, как ожидается, будет иметь доходность μ. Опцион колл определяется как Max(S-K, 0) и истекает через время t.

Допустим, оператор всегда будет оставаться дельта-нейтральным. Таким образом, он будет иметь на своем балансе портфель P, состоящий из:

P = —C + ∂C/∂S + B = 0.

Следовательно,

B = C – ∂C/∂S S.

В результате он будет иметь значение B, равное разности между денежными средствами, вырученными за опцион колл, и долларами, вложенными в акцию S. Портфель приносит проценты по безрисковой ставке и дивиденды на акции, которыми владеет оператор. Если ∆P = 0, чтобы портфель был нечувствителен к денежному потоку, то получим:

–∆C + ∂C/∂S × ∆S + ∆B = 0.

Таким образом, для бесконечно малых приращений, используя расширение Ито, получаем:

–∂C/∂t dt – ∂C/∂S dS – ½∂2C/∂S2 dS2 + ∂C/∂S × dS + dB = 0,

где

dS = S(μdt + σdW);

dS2 = S2(μdt + σdZ)2 = S2σ2dt из таблиц умножения Ито;

dB = rB, полученные проценты по портфелю облигаций (или уплаченные, если значение отрицательное);

dB = (rC – ∂C/∂S Sr – ∂C/∂S Sd)dt = rCdt – ∂C/∂S S(r – d)dt.

Следовательно,

–∂C/∂tdt – ½∂2C/∂S2S2σ2dt + rCdt – ∂C/∂S S(r – d)dt = 0.

Таким образом:

∂C/∂t + ½∂2C/∂S2S2σ2 – rC + ∂C/∂S S(r – d) = 0 (10).

Мы видим, что dS исчезает из уравнения, как и μ. Остаются только безрисковая ставка и ставка выплаты.

С этого момента мы будем называть μ риск-нейтральным дрейфом, эквивалентным r – d. Оператор может продолжить и оценить дифференциальное уравнение (10) в граничных условиях. Или он может проинтегрировать диффузию, чтобы получить те же результаты, что и в уравнении (7), но с (r – d) вместо μ:

где x – центрированная гауссова случайная величина. Далее решение для интеграла становится утомительным, но требует лишь незначительных манипуляций. В итоге пользователи получают стоимость опциона колл, для простоты используя значение t0 = 0:

C = exp(–dt)S0N(dl) – exp(–rt)KN(d2),

где

d1