Диалектические основы математики - Алексей Федорович Лосев

Итак, в отношении выразительно-числовых форм мы должны выставить следующие положения.

1. Существует четыре основных выразительно-числовых формы:

· a) конечная,

· b) инфинитезимальная,

· c) трансфинитная и

· d) континуально-тотальная.

2. Если число дано на стадии выразительной формы, то оно сразу содержит в себе все эти четыре формы. Если оно характеризуется хотя бы одной из этих форм, то остальные также присутствуют тут целиком.

3. Это, однако, не значит, что всеми ими нужно пользоваться сразу. Обычно выбирается и фиксируется какая-нибудь одна из них, смотря по той категории, которую желательно иметь в виду. Конечная выразительная форма основана на категории едино-раздельности (или бытия определенного), инфинитезимальная – на категории становления, трансфинитная – на категории ставшего и континуально-тотальная – на категории энергийно-эманативного бытия.

4. Никакая из этих категорий не сводима одна на другую, но никакая зато и не может существовать без других. Все они – нечто, и все они – разное.

d) Такая установка поможет нам и при детальном рассмотрении указанных форм, которого, впрочем, мы делать не будем, но которому зададим только определенное направление.

I. Как возможно конечное?

· a) Пусть существует конечная выразительная форма, которая в то же время не есть инфинитезимальная. Это значит, что в пределах этой формы невозможен ни малейший сдвиг, т.е. что от начального элемента конечного никуда сдвинуться нельзя, и, значит, тем более нельзя дойти до последнего элемента, т.е. конечное перестало быть конечным, обозримым.

· b) Допустим, что есть конечная выразительность без трансфинитной. Поскольку трансфинитное число есть предел конечной операции, постольку исключение трансфинитности есть исключение предела, т.е. самой возможности достигнуть конца. Значит, в конечном при таких условиях мы не смогли бы достигнуть последнего элемента, даже если сдвинулись бы с первого элемента, т.е. конечное перестало бы быть конечным, обозримым.

· c) Но пусть исключается континуум. Это значит, что внутри конечного образованы такие пропасти и разрывы, которые нельзя ничем преодолеть, так что если бы мы даже и обладали первым и последним элементом конечного множества, то мы не знали бы, что находится «посредине», т.е. не знали [бы], что наши элементы есть именно первый и последний.

Конечно то, что имеет начало, середину и конец. И вот оказывается: если конечное не есть в то же время стихия бесконечно-малого, то оно не имеет начала. Если оно не есть в то же самое время и трансфинитное, оно не может иметь конца. А если оно не есть континуум, то оно не имеет и середины. Скажут: а если сама едино-раздельность не обеспечивает нам начало, середину и конец? Да, это есть действительно категория определенного бытия, но мы не можем воспользоваться ни началом, ни серединой, ни концом для конструирования числа и множества, если нет налицо указанных условий. Начало есть, но мы не можем с него сдвинуться; середина есть, но мы не можем через нее пройти; конец есть, но мы его не достигаем. Являются ли в таком случае эти отвлеченные категории реальной характеристикой числа и множества?

Итак, если нет бесконечного, то нет ничего и конечного. Условием возможности конечного является бесконечное.

II. Как возможно бесконечно-малое и бесконечно-большое?

· a) Если существует бесконечно-малое, которое в то же время не является конечным, это значит, что оно есть чистое становление, в котором нет никакой едино-раздельности, т.е. которое вообще даже не есть нечто. Но тогда получается такое становление, в котором неизвестно, что именно становится. Но это есть только словесная нелепость, потому что для dx должно существовать само x. Бесконечно-малое существует лишь как известное приращение конечного. Бесконечно-малое и бесконечно-большое и есть не что иное, как становящееся конечное. Отбросивши здесь конечное, мы отбрасываем определенность самого понятия, т.е. делаем абсолютно алогичным и, значит, необсуждаем[ым] само бесконечно-малое.

· b) Но, может быть, существует инфинитезимальное бесконечное без всякой трансфинитности? Этого очень многим математикам хотелось бы… Но, к сожалению, это не так. Если в инфинитезимальном нет трансфинитного, то с точки зрения чистой логики это означает только, что становление здесь не имеет никакого направления, не имеет никакой цели, т.е. не содержит в себе предела. Однако момент предела входит в самое понятие бесконечно-малого и бесконечно-большого. Не нужно думать, что актуальная бесконечность существует только для бесконечно-большого. Веронезе показал, что существует также актуальное бесконечно-малое. Раз есть предел, то в условиях алогического становления уже с необходимостью существует и трансфинитное (хотя оно тут не используется), ибо последнее и есть определенный синтез становления с пределом.

· c) Точно так же немыслимо бесконечно-малое и тогда, когда оно не есть континуум. Если он не есть континуум, это значит, что в нем отсутствует само становление, процесс и уже тем более, значит, отсутствует непрерывность. А это значит, что бесконечно-малое есть постоянная величина, что противоречит самому его понятию.

Итак: если бесконечно-малое не есть в то же время конечное, оно есть становление неизвестно чего; если оно не есть еще и трансфинитное, оно есть становление неизвестно какое[41]; если, наконец, оно не есть континуум, оно вообще не есть становление, или процесс, оно вообще не есть переменная величина.

III. Как возможен континуум?

· a) Допустим, что континуум не содержит в себе ровно ничего, что указывало бы на конечность. Это значит, что континуум лишен категории едино-раздельности. Но если нет едино-раздельности, то нет и сплошности, ибо последняя есть не что иное, как заполненная едино-раздельность. Однако, что получится, если мы выделим из континуума все, что создает в нем сплошность, и постараемся получить едино-раздельность? Это значит, что мы получим континуум, в котором не будет никакого счетного скелета, т.е. окажется неизвестным, сплошностью чего именно является континуум. Мы получим множество всех действительных чисел, в котором, однако, нельзя будет указать ни одного рационального числа (ибо множество всех рациональных чисел – счетное), что невозможно. Это, конечно, не значит, что континуум состоит из этих едино-раздельных элементов; но это значит, что для сплошности необходим едино-раздельный скелет, который после своего заполнения и превращается в неразличимую сплошность.

· b) Континуум немыслим и без инфинитезимального момента. Это значило бы, что он мыслим вне процесса становления, а тут мы пришли бы к его распадению на дискретное множество. Каждая «точка» континуума, по вышеизложенному ([п. 9]), есть именно становящаяся точка, так что лучше уже говорить не о точках, а прямо об отрезках.

· c) Наконец, континуум, лишенный признаков трансфинитности, есть континуум, в котором ни одна точка не есть предельная. А это исключается самим определением континуума как совершенного множества.

Итак: континуум вне категории конечного есть сплошность неизвестно чего; он же, лишенный категории трансфинитного, есть сплошность неизвестно какая; а лишенный категории бесконечно-малого, он вообще не есть сплошность.