Космос. Иллюстрированная история астрономии и космологии - Джон Норт

математической физики, он нуждался в методах дифференциального и интегрального исчислений и гораздо более действенных динамических закономерностях, чем те, что существовали в его время. Он был вынужден опираться главным образом на качественное описание, но каким-то чудесным образом в его, по преимуществу, интуитивных рассуждениях вдруг отчетливо проявились те замечательные законы, которые по сей день носят его имя.

КЕПЛЕРОВСКИЕ ЗАКОНЫ ПЛАНЕТНОГО ДВИЖЕНИЯ

Сила должна быть пропорциональна движению – так полагал Кеплер, как и многие до него. Сила вращения Солнца, приводящая в движение планеты, простирается вовне в трех измерениях таким образом, что величина ее воздействия должна уменьшаться пропорционально квадрату расстояния, однако Кеплеру никак не удавалось согласовать эту идею с известными ему скоростями планет. Что, если силы распространяются не в трех измерениях, а по каким-нибудь причинам ограничиваются плоскостью орбиты или непосредственно примыкающим к ней пространством? Может ли это привести к изменению скорости планет не пропорционально расстоянию? Для проверки этого предположения он формулирует свой вопрос, используя не скорости, а «задержки» – короткие интервалы времени, необходимые для покрытия малого участка дуги. Тогда, если задержка пропорциональна расстоянию этой малой дуги, то задержка большой дуги может быть получена суммированием всех расстояний находящихся на ней малых дуг. Способ разбиения орбиты на серии малых приращений дуги Кеплер почерпнул из архимедовой геометрической практики. Для суммирования расстояния по всему участку дуги для нахождения времени, затраченного планетой на ее покрытие, ему потребовалось выбрать сравнительно небольшой интервал дуги, но и это, по-видимому, привело его к бесконечно большому значению, а это абсурд. Область каждой секторальной компоненты, описываемая радиус-вектором, проведенным от Солнца, как он заметил, была примерно пропорциональна среднему расстоянию малой орбитальной дуги от Солнца, и значение этого приближения тем точнее, чем меньше дуга. Таким образом, общее время для сектора любого размера должно быть пропорционально его площади. Проделав все это, он получил то, что сегодня называется «законом площадей» или вторым законом планетного движения Кеплера. Выражаясь иначе: радиус-вектор, соединяющий Солнце с планетой, описывает одинаковые площади за одинаковые интервалы времени (ил. 143). По какой-то непонятной причине он не захотел вставить это пояснение в «Astronomia nova» и так и не нашел подходящего случая опубликовать этот закон в какой-либо из своих работ до выхода «Epitome».

142

Расположение магнитных волокон, каким оно представлялось бы «взору» планеты, находящейся вне экваториальной плоскости Солнца. Согласно Кеплеру, эти волокна, являющиеся источником магнитной силы, нужны для того, чтобы толкать планеты с помощью солнечного вращения и поддерживать их изменяющееся расстояние до Солнца в правильном режиме посредством притяжения и отталкивания. Возникшая перед Кеплером невероятно сложная проблема магнетизма не помешала ему провести рассуждение в качественных категориях, согласно которому взаимное расположение волокон могло объяснить, почему все планеты расположены примерно в одной (эклиптической) плоскости.

Сам по себе закон площадей оказался недостаточен для устранения пресловутой ошибки в восемь минут дуги. Сначала, как это понятно сегодня, требовалось получить закон эллиптических орбит, однако это было не столь уж важно с точки зрения применяемой им исследовательской техники, и его гениальность проявилась в том числе в том, что он все же открыл этот закон, но чуть позже, а сделав это, положил конец доминированию кругов в планетной теории. Он установил закон площадей задолго до выхода в свет «Astronomia nova» и спустя какое-то время начал сомневаться в его справедливости, пока в итоге не был принужден заключить, что должен отказаться от предпосылки, согласно которой Марс обладает круговой орбитой. Он попытался использовать эпицикл с центром, выбранным таким образом, чтобы не нарушался закон площадей. Этого можно добиться, сделав деферент овальным, и он произвел огромное количество вычислений для самых разных овалов. Все зависело от точной формы орбиты, степени ее отклонения от правильного круга. Он знал: если бы это был эллипс, то в его распоряжении оказался бы хорошо изученный раздел геометрии – геометрия конических сечений Архимеда и Аполлония. На одном из этапов он использовал эллипс в качестве приближения к истинной орбите, очевидно, рассматривая его не более как средство, упрощающее расчет площадей. Однако создается впечатление, что на тот момент он искренне полагал, что удача отвернулась от него, коль скоро ему пришлось использовать для описания реальности столь несовершенную фигуру. К 1605 г., проделав многие сотни пробных вычислений и написав более пятидесяти глав уже завершенной «Astronomia nova», он все еще отводил эллипсу роль вспомогательного средства в своей теории. Он посвятил исследованию овалов целых десять глав своей книги, и каждый из них обязательно давал ошибку в октантах. В один момент он попытался увязать эллипс с магнитной гипотезой, но потерпел неудачу. Эллипс довольно хорошо описывал планетные направления, но плохо согласовывался с моделью флуктуирующих расстояний. Затем, через семь глав, он пришел к выводу, что эллипс способен удовлетворить обоим требованиям. Так возник первый закон Кеплера, как мы его сегодня называем: планета движется по эллиптической орбите с Солнцем в одном из фокусов этого эллипса. Потребовалось некоторое время на то, чтобы Кеплер смог приспособить закон площадей к эллипсу, но он сделал это еще до выхода «Epitome».

143

Второй закон движения планет Кеплера, «закон площадей». Равные площади (изображенные здесь в виде трех секторов, помеченных буквой a) заметаются за равные интервалы времени линией, соединяющей Солнце (S) с планетой. Позже Исаак Ньютон заметил, что его необходимо слегка подкорректировать, и в простейшей системе, состоящей из двух тел, точка S должна располагаться в центре масс Солнца и планеты.

В ходе изложения своего подхода в «Epitome» Кеплер привел уравнение, само по себе способное претендовать на роль главного достижения решения задачи планетных орбит. Он пишет о нем как о следствии, полученном из физической теории отклонения магнитных волокон, что действительно могло иметь место, хотя ничто не мешало ему назвать следствием физической теории и эллиптическую орбиту. Следующее краткое пояснение «уравнения Кеплера» не столько объясняет его происхождение, сколько подчеркивает его важное значение для любого астронома – не только Кеплера, – желающего правильно рассчитать планетные положения. Уравнение связывает два угла, известные как эксцентрическая аномалия (E) и средняя аномалия (M). Первый угол показан на ил. 144, где точка P обозначает планету, S – Солнце, а A – перигелий, точку, в которой планета оказывается на наименьшем расстоянии от Солнца. Угол M не показан, но для тех, кто имеет навык аналитического мышления, он и не нужен. Это угол, описываемый радиус-вектором, движущимся с постоянной угловой скоростью. Мы можем переформулировать наше пояснение, осуществив переход к площадям, но не составит труда изобразить M как угол между SA и линией, исходящей из S, которая вращается с такой же средней скоростью, как планета, совпадая с ней при каждом прохождении через точку A. Далее, если e – это эксцентриситет эллипса, то уравнение Кеплера запишется в виде: E – esinE = M, если указанные углы записаны в радианах.

144

Диаграмма, иллюстрирующая соотношение, получившее название «уравнение Кеплера»

Очевидно, что угол M легко определяется, если известен угол E, но задача, стоящая перед вычислителем планетных положений, начинается с решения более общей