Жемчужина Эйлера - Дэвид С. Ричесон
Книгу Жемчужина Эйлера - Дэвид С. Ричесон читаем онлайн бесплатно полную версию! Чтобы начать читать не надо регистрации. Напомним, что читать онлайн вы можете не только на компьютере, но и на андроид (Android), iPhone и iPad. Приятного чтения!
Шрифт:
Интервал:
Закладка:
Таким образом, целью стало нахождение неизбежного множества неприводимых конфигураций. Сделав это, мы доказали бы теорему о четырех красках, потому что это был бы набор конфигураций, которые не могут встречаться в минимальном злодее, но должны встречаться в любом графе смежности. Это противоречило бы существованию минимального злодея.
22 июля 1976 г., спустя почти сто лет после ошибочного доказательства Кемпе, два исследователя из Иллинойского университета, Кеннет Аппель (1932–2013) и Вольфганг Хакен (родился в 1928 г.), объявили, что нашли неизбежное множество, содержащее 1936 приводимых конфигураций. К моменту появления своих двух статей в следующем году они сумели упростить работу, исключив избыточность и уменьшив количество до 1482121. (Они также добавили в одну из статей третьего автора, Джона Коха, за помощь в вычислениях.) Теорема о четырех красках наконец-то пала!
Теорема о четырех красках
Любую карту можно раскрасить четырьмя или меньшим количеством цветов.
В конце лета 1976 года Хакен представил свою работу на совместном собрании Американского математического общества и Математической ассоциации Америки. В конце лекции аудитория не разразилась бурными аплодисментами, не было слышно радостных возгласов, и никто с энтузиазмом не похлопывал Хакена по спине. Раздались лишь вежливые хлопки. Для собравшихся в зале математиков-теоретиков так долго ожидаемая развязка одной из самых интересных историй в математике оказалась в высшей степени разочаровывающей.
Причина такого холодного приема заключалась в том, что после того как Аппель и Хакен подготовили конфигурации графов, что заняло семьсот страниц рукописного текста, они загрузили их в компьютер и запрограммировали его на проверку многих тысяч частных случаев. Работу компьютера даже нельзя было проверить вручную. Вычисления заняли шесть месяцев, свыше тысячи часов машинного времени, и результатом стала гора распечаток высотой 1,2 м. Хотя люди в основном верят, что доказательство правильно, большинство чистых математиков находят его неэлегантным, неудовлетворительным и неспортивным. Все равно, как если бы Эвел Нивель похвастался, что пересечет Большой Каньон на мотоцикле, а потом построил мост и переехал по нему. Быть может, такие чувства испытывают настоящие альпинисты при виде людей, использующих бутылочки с кислородом во время высокогорного восхождения.

Рис. 14.12. Кеннет Аппель и Вольфганг Хакен
Ученые и инженеры используют компьютеры для решения бесчисленных задач, но математики так не поступают. Компьютеры хороши для быстрых вычислений, но не для точных и тонких рассуждений, необходимых в математических доказательствах. Подобно литературе, философии и изобразительному искусству, математика всегда была устремлением человеческого духа, не поддающимся автоматизации. Быть может, настанет день, когда кто-нибудь создаст черный ящик для доказывания теорем. Мы вводим утверждение, а черный ящик отвечает «истина» или «ложь». (Такие попытки уже предпринимаются.) Кто-то скажет, что это лишило бы математику ее очарования и сделало бы менее красивой.
Доказательство теоремы о четырех красках стало первым широко обсуждаемым доказательством, полученным с помощью компьютера. И вряд ли последним. Еще один дискуссионный пример — доказательство гипотезы Кеплера, полученное в 1998 году Томасом К. Хейлсом122. Хейлс доказал, что Кеплер был прав, утверждая, что самый эффективный способ упаковки шаров в ящик — гранецентрированная кубическая упаковка: как бакалейщики укладывают апельсины, а артиллеристы ядра. Хотя этот результат был опубликован в престижном журнале Annals of Mathematics, редакция тянула с публикацией несколько лет (статья вышла в 2005 году), и даже тогда редакторы оговорились, что не стали и не смогли бы проверить тысячи строк компьютерного кода.
За годы, прошедшие с момента опубликования Аппелем и Хакеном своего спорного доказательства, оно было подвергнуто независимой проверке. Другие математики нашли меньшие неизбежные множества приводимых конфигураций и более эффективные способы доказательства теоремы, но и по сей день все доказательства нуждаются в проверке на компьютере.
Пауль Эрдёш (1913–1996), знаменитый венгерский математик, известный своей эксцентричностью, говаривал о «Книге» — воображаемом томе, содержащем самые красивые и элегантные доказательства математических теорем. Сегодня дверь перед теоремой о четырех красках почти закрыта, но мы все еще ждем старомодной проверки с помощью карандаша и бумаги — пока что мы не видели доказательства, достойного войти в Книгу.
Приложения к главе
109. Twain (1894), 42–43.
110. May (1965).
111. Graves (1889), 423.
112. Там же.
113. Cayley (1878).
114. Quoted in Dudley (1992).
115. Gardner (1975b); Gardner (1988).
116. Baltzer (1885), цитируется по Coxeter (1959).
117. Там же.
118. Kempe (1879).
110. Quoted in Wilson (2002), 119.
120. Gardner (1995).
121. Appel and Haken (1977); Appel, Haken, and Koch (1977).
122. Hales (2005).
Глава 15
Новые проблемы и новые доказательства
Первые важные понятия топологии были открыты в процессе изучения многогранников.
Допустим, вам задали вопрос: какие деревья меняют цвет и сбрасывают листья осенью? Сказав «клены», вы дали бы правильный ответ. Но всякий, кто ездил на машине по Пенсильванской глубинке в октябре, знает о раскрашенных в самые разные цвета дубах, березах и буках, возвышающихся посреди куч опавших листьев. Так что хотя ответ верный, он не содержит полного перечня таких деревьев. Можно ли сказать, что все деревья осенью меняют цвет? Нет. У сосен, елей и кедров нет листьев, им нечего сбрасывать. Чтобы высказать общее и при этом истинное утверждение, следует внимательно изучить различные деревья. Более полный ответ мог бы звучать так: листопадные деревья меняют цвет и сбрасывают листья осенью.
Для выпуклых многогранников имеет место соотношение V — E + F = 2. Это истинное утверждение. Мы знаем об этом из доказательств Эйлера, Лежандра, Коши и других. Однако мы знаем и то, что его можно усилить. Как заметил Пуансо, формула Эйлера справедлива не только для выпуклых многогранников, а, например, еще и для звездных. Математик Д. М. Я. Сомервилль (1879–1934) писал: «Выпуклость — это в какой-то мере акцидентальное свойство, выпуклый многогранник можно трансформировать, например путем сминания или вдавливания одной или нескольких вершин, в невыпуклый с точно такими конфигурационными характеристиками»124. Поэтому было бы неточностью и ненужным упрощением говорить, что только для выпуклых многогранников имеет место формула Эйлера. Эрнест де Жонкьер полагал, что, «ссылаясь на Лежандра и других высоких авторитетов, мы лишь способствуем широкому распространению предрассудка, от которого не свободны даже лучшие умы: будто теорема Эйлера верна только для выпуклых многогранников»125.
Можно ли зайти настолько далеко, чтобы утверждать, что все многогранники
Прочитали книгу? Предлагаем вам поделится своим отзывом от прочитанного(прослушанного)! Ваш отзыв будет полезен читателям, которые еще только собираются познакомиться с произведением.
Уважаемые читатели, слушатели и просто посетители нашей библиотеки! Просим Вас придерживаться определенных правил при комментировании литературных произведений.
- 1. Просьба отказаться от дискриминационных высказываний. Мы защищаем право наших читателей свободно выражать свою точку зрения. Вместе с тем мы не терпим агрессии. На сайте запрещено оставлять комментарий, который содержит унизительные высказывания или призывы к насилию по отношению к отдельным лицам или группам людей на основании их расы, этнического происхождения, вероисповедания, недееспособности, пола, возраста, статуса ветерана, касты или сексуальной ориентации.
- 2. Просьба отказаться от оскорблений, угроз и запугиваний.
- 3. Просьба отказаться от нецензурной лексики.
- 4. Просьба вести себя максимально корректно как по отношению к авторам, так и по отношению к другим читателям и их комментариям.
Надеемся на Ваше понимание и благоразумие. С уважением, администратор knigkindom.ru.
Оставить комментарий
-
Гость Марина15 июль 14:27 Очень интересно, динамично, характерно. Не могла оторваться. Благодарю! ... Еще один шанс: Еще один шанс. Дикая война. И один в тайге воин - Ерофей Трофимов
-
Гость granidor38515 июль 07:50 Помощь с водительскими правами. Любая категория прав. Даже лишённым. Права вносятся в базу ГИБДД. Доставка прав. Подробная... Брак по расчету - Анна Мишина
-
Kelly11 июль 05:50 Хорошо написанная книга, каждая глава читалась взахлёб. Всё описано так ярко: образы, чувства, страх, неизбежность, словно я сама... Не говори никому. Реальная история сестер, выросших с матерью-убийцей - Грегг Олсен