Диалектические основы математики - Алексей Федорович Лосев

науки. Многие аксиоматики, и в том числе Гильберт, помещают, однако, в число аксиом и такие основоположения, которые отнюдь не являются самыми первыми и легко выводимы из трех формулированных нами выше. Так, в этой группе аксиом, которая у Гильберта и у других называется «аксиомами сочетания» (очевидно, соответствует нашей группе аксиом самотождественного различия), Гильберт помещает кроме аксиомы об определении прямой двумя точками еще следующие аксиомы.

a)

«Любые две различные точки прямой определяют эту прямую» (I 2)[10].

Эта аксиома, очевидно, есть повторение или в крайнем случае детализация первой, ибо когда говорится, что две точки определяют прямую, то имеются в виду не какие-нибудь особенные точки, а просто точки вообще, всякие точки, в том числе и лежащие на данной прямой, лишь бы они были различны, т.е. лишь бы они находились в разных местах. Таким образом, уже первая аксиома говорит о любых двух точках, и вторая аксиома только словесно отличается от первой. Раз мы уже постулировали, что две различные точки вполне определяют собою прямую, то, поскольку здесь не высказывается никаких ограничений, совершенно свободно можно иметь в виду как вообще любые две различные точки, так и любые две различные точки данной прямой. Поэтому степень общности первой и второй аксиомы у Гильберта во всяком случае неодинаковая: вторая аксиома вполне определенно есть частный случай первой.

b)

«На прямой вообще существует по крайней мере две точки» (I 3).

Эта аксиома с логической точки зрения также есть не больше как сырой материал – может быть, и полезный.

Во-первых, если уже сказано, что две точки вполне определяют прямую, то ясно, что они-то уже во всяком случае должны иметь место на этой прямой. Как же это возможно, чтобы прямая определялась двумя точками, а самих этих двух точек на ней не было бы? Это нелепость.

Во-вторых, данная аксиома могла бы получить определенный смысл в том случае, если бы прямая могла быть определена не только двумя различными точками. Тогда аксиома I 1 говорила бы только о достаточности определения прямой двумя точками, а вовсе не о его необходимости. Мы тогда определяли бы прямую двумя точками между прочим, так как возможно, что этих двух точек на ней и не оказалось бы. И тогда постулат о двух точках на прямой действительно был бы новостью. Если это так, то как же еще можно определять прямую, – в аксиомах Гильберта ничего не сказано.

В-третьих, Гильберт как бы рассуждает так: я ничего не знаю о том, что такое точка, прямая, и плоскость, и пр.; для меня это просто какие-то «системы вещей», о смысле которых я впервые только еще условливаюсь; и если я постулирую, что некая вещь, называемая прямой, определяется двумя точками, то это еще не значит, что две точки обязательно в ней содержатся, подобно тому как, определяя близорукость диоптриями, я этим еще ровно ничего не предрешаю в вопросе о том, что такое близорукость вообще и какими вообще средствами ее можно определить. По-видимому, в этом и скрывается весь секрет гильбертовских аксиом. Гильберт «не знает», что такое прямая; и, определивши ее двумя точками, он еще «не знает», имеются ли эти две точки на ней фактически или нет. Такая позиция, однако, для философа есть жалкие и наивные потуги на критицизм и на логику.

В самом деле, допустим, что Гильберт действительно не знает, что такое прямая. Вот он «условился»: будем называть прямой то, что определяется двумя различными точками. Если он действительно «не знал» прямую, а знал только точки (почему точка понятнее прямой – тоже неизвестно), то мы вправе его спросить: а что значит «определяется»? Нам известно только, что такое точка, и мы говорим: «Прямая определяется двумя точками». Но что же это такое «определяется»? Если одна точка не есть прямая и другая не есть прямая, то откуда же две точки «определили» прямую? Если имеется два голодных желудка, то на каком основании Гильберт утверждает, что два голодных желудка определяют один сытый желудок? Или это «определение» употреблено у Гильберта в совершенно неясном, непроанализированном смысле: тогда «определение» прямой через две точки ровно ничего не говорит, это пустые звуки, и тогда действительно надо еще отдельно постулировать наличие двух точек на прямой; или Гильберт свое «определение» понимает в обычном – правда, тоже совершенно наивном, но зато вполне ясном – смысле, когда мы приставляем к двум точкам линейку и реально проводим прямую; но тогда постулат о наличии двух точек на прямой уже содержится в определении прямой двумя точками.

Как образец наивности Гильберта в этом отношении можно привести слова из § 2 его «Оснований геометрии»:

«Вместо термина „определяют“ мы будем употреблять и другое, – напр., a „проходит“ „через“ A и „через“ B, a „соединяет“ A „и“ B или a „соединяет“ A „с“ B. Если A есть точка, которая с другою точкою определяет прямую a, то мы употребляем также выражениям A „лежит на“ a, „существует точка“ A и т.д. Если A лежит на прямой a и сверх этого на другой прямой [b], то мы говорим: „прямые“ a „и“ [b] „имеют общую точку A“ и т.д.».

Эти слова наивны потому, что они беспомощно открывают тайный интуитивный корень всего гильбертовского формализма. Оказывается, «определение» это и есть не что иное, как обычное помещение двух точек на прямой. Но тогда уже в первой аксиоме содержатся все прочие «аксиомы сочетания» о точках и прямой.

c)

Гильберт – формалист; он хочет изгнать всякую интуицию из математики и заменить ее логическими определениями. Пуанкаре[11] пишет:

«Гильберт старался, так сказать, представить аксиомы в такой форме, чтобы они могли быть прилагаемы лицом, которое не понимало бы их смысла, потому что никогда не видело ни точки, ни прямой, ни плоскости. Рассуждения должны, по его мнению, приводиться к чисто механическим правилам; и для того чтобы строить геометрию, достаточно рабски прилагать эти правила к аксиомам, не зная, что они, собственно, выражают. Таким образом можно было бы построить всю геометрию, я не скажу, ничего в ней не понимая, потому что будет понятно логическое сцепление предложений, но по крайней мере ничего в ней не видя. Можно было бы вставить аксиомы в логическую машину, напр., в логическое пианино Стенли Джевонса, и из нее вышла бы вся геометрия».

Таким образом, весь смысл предприятия Гильберта заключается в изгнании всего интуитивного и в замене его логикой, потому что только с