Диалектические основы математики - Алексей Федорович Лосев

такой точки зрения и можно оправдать те повторения и тавтологии в аксиомах, которые были отмечены выше и с которыми нам еще придется встретиться ниже. Но вот оказывается, что в самое начало, в самую душу геометрии введена самая обыкновенная интуиция: «проходит через», «лежит на», «соединяет» и пр. Она не уничтожается оттого, что эти слова Гильберт ставит в кавычках. Но я повторяю: если «определение» прямой двумя точками есть интуиция, то все прочие аксиомы уже в ней содержатся.

d)

Такая же тавтология и путаница у Гильберта и в плоскостных аксиомах. О том, что любые три точки плоскости, не лежащие на одной прямой, определяют эту плоскость (I 5), говорится уже в основной аксиоме об определении плоскости (I 4). Аксиома же I 6:

«Если две точки A и B прямой a лежат в плоскости a, то и всякая точка прямой a лежит в плоскости a»

есть не что иное, как следствие аксиомы I 1, потому что если линия вполне определена двумя любыми точками, то ясно тавтологически, что, какие бы две точки на этой прямой ни были взяты, они будут относиться именно к этой прямой, а если вся линия – на плоскости, то и любая точка ее необходимо на той же плоскости. Аксиома I 7 о том, что

«две плоскости имеют по крайней мере две общие точки, если имеется одна общая точка»,

также есть только следствие из определения плоскости тремя точками, не лежащими на одной прямой.

Что же касается последней аксиомы I 8:

«Существует по меньшей мере четыре точки, не лежащие в одной плоскости»,

то, во-первых, почему-то не сформулировано здесь то, что именно определяется этими четырьмя точками, т.е. тело, в то время как в предыдущих аксиомах формулировалось именно определяемое (линия и плоскость). Во-вторых же, самый способ формулировки этой аксиомы производит несколько наивное впечатление своей сугубой осторожностью и трогательно-деловитым критицизмом. Если Гильберт считает, что признание четырех точек не в одной плоскости есть ничем не доказанная предпосылка геометрии, вводимая нами на веру и потому фиксируемая в виде аксиомы, то ведь тот же самый критицизм можно проявить и к возможности трех точек не на одной линии, и к возможности двух точек вообще. По-моему, также и признание возможности одной какой-нибудь точки ровно в той же мере достоверно и в той же мере сомнительно, что и признание четырех точек И тогда надо было бы ввести еще три аксиомы:

«Существует по крайней мере одна точка»;

«Существуют по крайней мере две разные точки»;

«Существуют по крайней мере три точки не на одной линии».

Это, конечно, было бы наивно и пусто. Все геометрические фигуры, равно как и всякое арифметическое число или действие, совершенно одинаковы в смысле своей достоверности и очевидности; и нужно эту достоверность вынести сразу раз навсегда за скобки и ограничиться логической системой того, что остается внутри этих скобок. Рассуждать же о достоверности и реальности предметов знания вообще не дело математиков.

e)

Но попробуем стать на точку зрения самого Гильберта, который не хотел подчеркивать достоверность трехмерного пространства (хотя даваемая им формулировка и вводит в заблуждение), а хотел возможно короче выразить «аксиомы сочетания» (потому что аксиома I 8 уже предполагает существование трех точек не на одной прямой, существование двух точек, различных между собой, и, наконец, существование одной точки). Если подходить к аксиоме I 8 именно так, то здесь получится некая невязка: предметную общность аксиом Гильберт заменяет внешнею общностью, которая если и имеет какой-нибудь смысл, то только чисто интуитивный. Если имеется трехмерное пространство, то всякий скажет, что тем самым имеется и двухмерное, и одномерное; и для краткости речи, конечно, можно сказать, что пространство по меньшей мере трехмерно. Но эта краткость речи не имеет ничего общего с аксиоматической общностью. Все равно смысл того, что Гильберт хочет сказать в аксиоме I 8, заключается именно в утверждении существования пространства одного, двух, трех и т.д. измерений. И если Гильберт скажет, что из I 8 логически вытекает существование двух и одного измерений (в этом, по-видимому, смысл такой краткости речи), то логически также и из одного измерения вытекает два измерения, а из двух – три (подобно тому как единица предполагает двойку, двойка – тройку и т.д.) и логически с таким же успехом можно было бы вместо аксиомы I 8 сказать: существует по меньшей мере одна точка.

Беда только в том, что если действительно стоять на точке зрения абсолютного формализма, то ни из единицы нельзя получить двойку, ни из одномерного пространства нельзя получить двухмерное, так как все эти переходы не просто логические. Из того, что существует точка, ровно не следует, что существует и прямая; и из наличия четырех точек не в одной плоскости ровно не следует (формально-логически не следует), что существуют и три точки не на одной прямой или две вообще различные точки. Если идет дождь, то это еще не значит, что посеянному хлебу от этого полезно, хотя, вообще говоря, хлебу дождь полезен. И из того, что точка полезна для определения прямой, вовсе не вытекает, что прямая обязательно должна существовать, если существует точка. Все дело в том-то и заключается, что тут не просто формальная связь абстрактных понятий, но интуитивная очевидность и тут даже вовсе не понятия, а математические факты. Только интуитивно одно измерение предполагает другое, так как если мы фиксируем прямую, то тем самым косвенно фиксируем и плоскость, на которой она находится. Но Гильберт изгоняет всякую интуицию.

Будем понимать под логическим отношением то, простое и ясное, что имеется каждым в виду, когда заходит речь о логике. Логически определять что-нибудь – это значит выводить его как частное из чего-нибудь общего или как общее из чего-нибудь частного. В этом смысле точка ни в каком смысле не есть ни что-нибудь общее для прямой, так как, сколько бы мы ни дробили точку, мы никогда не получили бы прямую в качестве логического вида понятия точки, ни прямая не есть что-нибудь общее для точки, так как, сколько бы мы ни дробили прямую, мы никогда не получили бы точку – ни как вид понятия прямой, ни даже просто как часть самой прямой. Точно так же никаким ни логическим, ни материальным переходом мы не можем получить из трехмерного пространства двухмерную плоскость, сколько бы мы ни дробили его как некое общее понятие на частные виды или как некую большую вещь на меньшие части и