Диалектические основы математики - Алексей Федорович Лосев

то же, что и число по своему бытию, т.е. по актам своего полагания. Сколько раз случился акт полагания, столько единиц мы фиксируем и в числе. Его смысловое, т.е. в данном случае количественное, содержание находится в полном соответствии с его бытийным содержанием; и даже нельзя сказать, что тут происходит «соответствие». Соответствовать одно другому может тогда, когда эти взаимно соответствующие предметы как-то отличны друг от друга. В арифметическом же числе не положено самого различия между его смыслом и его фактом. И это понятно, потому что различие между тем и другим предполагает переход чистого смысла в инобытие. А число арифметическое есть чистый смысл.

Что теперь происходит в экстенсивном числе и в геометрической совокупности? Здесь инобытие чистого числа. Это значит, что и тождество тут инобытийно, равно как и различие инобытийно. Инобытийное различие – это значит различие не чисто смысловых актов, но различие таких актов полагания, которые сами по себе еще ничего не говорят о различиях смысловых, о смысловых полаганиях. В арифметическом числе акт полагания равносилен акту смыслового различия. В геометрической же совокупности акт полагания еще ничего не значит как смысловое полагание. Это и есть признак того, что число перешло в свое инобытие. Оно расползается тут по актам своего полагания, но это совершенно не касается его смысловой разделенности, которая или прямо отсутствует (как в континууме), или обладает актами инобытийной связанности упомянутых актов (как во всякой геометрической фигуре).

Множество совмещает в себе все особенности и интенсивного числа, и экстенсивной фигурности[12]. Множество арифметично, ибо вся его математическая судьба разыгрывается в чисто числовой сфере, и тут нет и помина о каком-нибудь пространстве. С другой стороны, множество есть всегда инобытийное полагание, откуда образуется и упорядоченность, т.е. некая фигурность, а это уже заставляет вспомнить о геометрии. Откуда получается фигурность в экстенсивном числе? Она получается из того, что акты полагания различным образом расставлены. Но почему они различным образом расставлены? Потому что имеется в виду не просто самый акт полагания (и их количество), но и то поле, на котором совершается полагание, которое, будучи измеренным, и дает различное расстояние и промежутки. Это и значит, что тут существенную роль играет инобытие, ибо «поле», где совершаются акты полагания, в точном диалектическом смысле есть только иное, чем самые акты. Теперь спрашивается: а если будет разная «расставленность» актов в самом числе, то как возможна такая конструкция? Ясно, что чистое экстенсивное бытие будет здесь вобрано в сферу самого числа и произойдет синтез чистого числа и чистой его инобытийности. Когда такой синтез произведен, мы получаем понятие множества. Но тогда числу необходимо вернуться из инобытия к себе самому, пережить отрицание своего отрицания и от этого получить новое утверждение.

В общей диалектике доказывается, что отрицание отрицания никогда не приводит к простому повторению того, что уже было утверждено. В синтезе тезис не просто повторен, но дан в соответственно новом плане; он здесь не только просто он, но еще и свое иное, еще и все инобытие, от которого он, взятый сам по себе, так резко отличался. Во множестве мы имеем как раз прекрасный пример этого диалектического возвращения к самому себе: тут дана и вся числовая природа, и вся инобытийно-геометрическая, но это уже не есть ни арифметическая, ни геометрическая совокупность, а нечто третье, высшее и более общее.

4.

В связи с этим аксиома самотождественного различия примет форму, аналогичную с геометрией, но с переходом к чисто числовой интерпретации. В геометрической совокупности даны абсолютно изолированные по акту своего полагания элементы. Но в геометрии они даны сами по себе, без влияния на числовое содержание совокупности. Здесь же смысловое содержание множества будет в точности соответствовать инобытийным актам полагания. Соответственно изменится и формулировка аксиомы.

Аксиома самотождественного различия в теории множеств: множество есть совокупность абсолютно изолированных элементов, возвратившихся из инобытия к самим себе.

Или подробнее: множество есть совокупность элементов, абсолютно изолированных по актам своего полагания, но отождествленных или различенных в точном соответствии с этими актами, однако же в их чисто числовом понимании.

5.

Эту формулу выражают в теоретико-множественной аксиоматике иначе. Даже, собственно говоря, нельзя и сказать, что иначе. Дело в том, что обычная аксиоматика, с которой приходится встречаться в изложении теории множеств, слишком слепая и связанная; и никогда не знаешь, почему авторы берут эти, а не другие аксиомы и почему дают им то, а не иное выражение. Поэтому можно говорить только о более или менее отдаленном соответствии наивно-эмпирических обобщений конкретной теоретико-множественной аксиоматики с нашими аксиомами, выведенными в строжайшей системе с сознательным применением самого глубокого и точного философского метода – диалектического.

Именно, нашей аксиоме самотождественного различия в теории множеств соответствует, по-видимому, та аксиома Цермело и других, которая известна под названием аксиомы объединения, хотя и т.н. аксиома спаривания, по-видимому, говорит в значительной мере о том же самом. Аксиома объединения (Vereinigung) гласит у Цермело – Френкеля так:

«Если m есть множество, содержащее по крайней мере один элемент, то существует объединенное множество, которое содержит в качестве элементов все вместе элементы m и также – только эти».

Аксиома спаривания (Paarung) гласит:

«Если a и b – два различных множества, то существует множество <a, b>, которое содержит в себе множества a и b – и только их – и которое может считаться парой a и b».

Взятые сами по себе, эти аксиомы весьма важны, потому что очень важно отметить различие отношения, в которое вступают между собою элементы разных множеств в зависимости от объединения самих множеств. Так, если город состоит из улиц, а улицы – из домов, то дома суть элементы вовсе не города, а только улицы; если дома в каком-то смысле могут считаться элементами города, то это надо фиксировать специально, что, по-видимому, и сделано в «аксиоме объединения». То же соответственно и в «аксиоме спаривания».

Однако такая формулировка весьма формалистична и недостаточна. Прежде всего, тут совершенно не подчеркнут спецификум множества; и аксиома сформулирована так, что она применима и к любой совокупности, и прежде всего к чисто арифметической. Эта аксиома говорит ведь только то, что если мы имеем сумму 5 и 7, то она будет содержать в себе все единицы пятерки и все единицы семерки, и только их. Такая безобидная вещь, конечно, тоже очень интересна, но место ее в арифметике, а не в теории множеств. Далее, совершенно не показано, зачем понадобилась такая аксиома и как она связана с самим понятием