Интернет-журнал "Домашняя лаборатория", 2008 №7 - Журнал «Домашняя лаборатория»

абсолютных изменений в разных подпериодах не являются существенными; вероятность нулевой гипотезы (о случайном характере этих различий) много больше 0,05, и она не может быть отклонена. Принимается исходная гипотеза о том, что средние значения абсолютных приростов урожайности постоянны, тренд урожайности — прямая линия.

Еще один методический прием определения типа тренда — применение многократного аналитического выравнивания с последующим рассмотрением динамики изменений основного параметра тренда по скользящим интервалам. К этому методу следует обратиться после изучения многократного выравнивания, представленного в разд. 5.5.

5.3. Оценка параметров линейного, параболического и гиперболического трендов

Данные виды трендов объединены в связи с тем, что методика оценки их параметров имеет много общего. Основой этой методики служит метод наименьших квадратов, который дает оценки параметров, отвечающие принципу максимального правдоподобия: сумма квадратов отклонений фактических уровней от тренда (от выровненных по уравнению тренда уровней) должна быть минимальной для данного типа уравнения.

Эта методика близка к методике корреляционно-регрессионного анализа связей — парной регрессии. Однако между ними есть и принципиальные различия", выступающий при расчете уравнения тренда в качестве независимой переменной ряд номеров периодов или моментов времени не является случайной варьирующей переменной X регрессионного анализа.

Ряд значений времени — это жестко упорядоченный ряд величин, и, следовательно, не может быть речи о корреляции между ним и значениями зависимой переменной — варьирующих уровней показателя, изменяющегося во времени. Нередко применяемые в литературе и в программах ЭВМ коэффициенты корреляции со временем или фактических уровней с выровненными (т. е. тоже упорядоченными) уровнями тренда таковыми на самом деле не являются и не могут измерять какой-либо «тесноты связи». Чем длиннее период, охватываемый рядом, тем автоматически становятся больше так называемые коэффициенты корреляции при той же самой скорости роста уровней и той же самой силе колебаний. Таким образом, эти лже-коэффициенты не могут характеризовать соотношение между ролью факторов тенденции и ролью факторов колеблемости.

5.3.1. Уравнение прямой линии тренда

Уравнение имеет вид:

y^i = а + bti,

где y^i — уровень тренда для периода или момента с номером ti;

а — свободный член уравнения, равный среднему уровню тренда для периода (момента) с нулевым номером ti;

Ь — главный параметр линейного тренда — его константа — среднее абсолютное изменение за принятую в ряду единицу времени.

Величина параметров а и Ь определяется по методу наименьших квадратов путем приравнивания частных первых производных функции

После алгебраических преобразований получаем два «нормальных уравнения» метода наименьших квадратов (МНК) для прямой:

Решая эти уравнения с двумя неизвестными по данным фактического временного ряда yi (i = 1 — n), получаем значения а и Ь. Если номера периодов (моментов) времени отсчитываются от начала ряда так, что первый период (момент) обозначен номером t = 1, то свободный член а есть уровень тренда для предыдущего периода (момента), а не первого в ряду, как часто ошибочно полагают. Для первого периода уровень тренда у^1 равен а + Ь, для второго у^2 = а + 2Ь и т. д.

Однако рациональнее начало отсчета времени перенести в середину ряда, т. е. при нечетном n — на период (момент) с номером (n + 1)/2, а при четном числе уровней ряда — на середину между периодом с номером n/2 и (n/2) + 1. В последнем случае все номера периодов ti будут дробными. При нумерации периодов времени точно от середины ряда половина номеров ti будет отрицательными числами (аналогично годам до нашей эры), а половина — положительными, т. е. Σni=1= 0.

В таком случае система нормальных уравнений МНК распадается на два уравнения с одним неизвестным в каждом:

(5.5), (5.6)

К сожалению, многие компьютерные программы не предусматривают такого упрощения, и нумерация периодов (моментов) в них производится с начала ряда, с номера t = 1, причем пользователь об этом не предупреждается. При расчетах без компьютера, конечно, следует применить упрощенный прием. Знаменатель в формуле (5.8) при нумерации периодов от середины ряда вычисляется устно при n < 10 или по формуле:

Приведем расчет линейного тренда по временному ряду (см. рис. 4.1). Динамика численности занятых в народном хозяйстве России с 1990 по 1996 г. представлена в табл. 5.3. В целях экономии места в той же таблице приведены и другие показатели, необходимые для измерения колеблемости, описываемые в гл. 6.

a = y¯ = 493,6/7 = 70,5 млн. чел.; b = -45,2/28 = -1,615 млн. чел. в год

Уравнение тренда:

y^i = 70,5–1,615∙ti, ti = 0 в 1993 г.

В среднем численность занятых сокращалась на 1615 тыс. чел. в год. Сумма уровней тренда должна равняться сумме фактических уровней, различие в четвертой значащей цифре связано с округлением значений параметров

5.3.2. Уравнение параболического (II порядка) тренда

Уравнение: y^i = a + b*t + c*t2

Для вычисления параметров а, Ь, с по методу наименьших квадратов три частные производные функции:

приравниваются к нулю, и после преобразований получаем систему трех уравнений с тремя неизвестными:

При переносе начала отсчета периодов (моментов) времени в середину ряда суммы нечетных степеней номеров этих периодов

Σti и Σti3

обращаются в нуль. При этом второе уравнение обращается в уравнение с одним неизвестным, откуда:

Уравнения (5.9) и (5.11) образуют систему двух уравнений с двумя неизвестными:

где, напомним,

Приведем пример расчета параболического тренда по данным рис. 4.2 и табл. 5.4, в которой присутствуют также графы, необходимые для анализа колеблемости, описываемые в гл. 6.

Вычисляем параметры параболы

b = 1054/42 ~= 25,1;

8а + 42с = 2684,

42а + 388,5с = 14492;

а + 5,25с = 335,5,

a + 9,25с = 345,0;

4с = 10,5; с = 2,625,

а = 321,7.

Уравнение тренда:

y^i = 321,7 + 25,1ti + 2,62ti2,

где t = 0,5 в 1992 г.

Интерпретация параметров тренда такова: экспорт Японии в 1988–1995 гг. возрастал в