Диалектические основы математики - Алексей Федорович Лосев

d) Впрочем, если гнаться за логической точностью и последовательностью, то, в сущности говоря, на рассматриваемой диалектической ступени мы еще не имеем права говорить о законах счета в полном объеме, хотя они уже выведены, и притом еще на предыдущей – едино-раздельной ступени. Дело в том, что вся единораздельная ступень есть ступень только идеального смысла, если под реальным понимать непрерывное или прерывное ее осуществление. Этим мы действительно вывели как арифметическое действие, так и законы счета (т.е. законы ассоциативный, коммутативный и дистрибутивный). Однако, согласно общему идеальному характеру сферы едино-раздельности, нужно считать, что там выведена только категория арифметического действия и категория законов счета. Теперь, когда мы стоим на базе непрерывности, мы можем превратить эту отвлеченную категорию действия и закона счета в реальные действие и счет. Реальное действие предстает перед нами в виде многочисленных арифметических операций. Однако представить себе тут же в развитой форме и законы счета как всеобще-значимые мы еще не можем, так как здесь мало одного принципа непрерывности. Ведь последний гласит только о непрерывном следовании и равномерном развертывании идеальной, едино-раздельной структуры, но еще ничего не говорит о комбинирующих функциях этой непрерывности. Для того чтобы складывать, умножать и пр., нужно только знать, что счет как идеальная значимость, т.е. попросту счет как перебегание по натуральному ряду чисел, зависит только от своих количественных заданий и что самая эта операция ровно ничего от себя не привносит в эти последние. Это только и содержится в арифметической аксиоме едино-раздельности, и это с привнесением принципа непрерывности разветвляется на отдельные типы арифметических операций. Когда же ставится вопрос о законах счета (в смысле ассоциативности, коммутативности и дистрибутивности), то тут надо кроме этого еще быть уверенным, что не только самая операция не привнесет ничего нового в сравнении со своими количественными заданиями, но ничего нового не привнесет и тот самый натуральный ряд чисел, путем пробегания по которому вперед и назад мы осуществляем данную операцию. Позже (§ 65) мы увидим, что эта уверенность возникает только на основе аксиомы конгруэнтности, которая только впервые и обеспечивает полное и безразличное осуществление и использование в арифметике законов счета, которые, однако, в виде идеальной и отвлеченной структуры выведены уже на ступени едино-раздельности.

3.

Далее, в геометрии мы получаем, очевидно, разные фигуры, образец выведения которых дан выше, в § 55. Если там была дана и общая дедукция фигуры, то здесь ввиду наличия реального континуума необходимо говорить уже об их осуществлении, в то время как прочие категории (конгруэнтности, метрики и пр.) в дальнейшем еще более специализируют у нас наше геометрическое построение.

4.

В теории множеств соответственно мы находим учение об искомых операциях, которые, как это и должно быть, вполне специфичны, как специфичны и способы построения геометрических фигур, хотя, в сущности, это есть только разная комбинация на основе непрерывности все также основных категорий идеальной едино-раздельности.

a) Так что понимается в теории множеств под сложением? Это такая операция, в результате которой

1) каждый элемент из нового множества (= из суммы) принадлежит какому-нибудь из слагаемых множеств и

2) всякий элемент любого слагаемого множества принадлежит новому множеству.

Сумма тут есть единственное вполне определенное множество. Надо строго различать множество самих слагаемых и множество их элементов. Элемент слагаемого есть элемент и суммы, но само слагаемое не есть элемент суммы, а только его часть (потому что одно множество есть часть другого, если все его элементы принадлежат к этому последнему). В связи с этим надо точнейшим образом себе уяснить, что множество ни в коем случае не есть сумма своих элементов. Представление о множестве как сумме возникает только при условии наличия слагаемых как множеств, так что сумма есть всегда сумма множеств, а не сумма элементов, или, иначе, множество есть сумма всех любых множеств из его элементов (особое множество – то, которое состоит только из одного элемента). При «нулевой инобытийности» арифметического числа эти свойства сложения не были так ярко выражены в арифметике. В теории же множеств, которая вся строится на идее специфического порядка, различие между элементом и частью обладает принципиальным значением даже в такой простейшей операции, как сложение. Категория самотождественного различия дана тут более выпукло потому, что она осуществлена на материале континуума, хотя континуум тут и вобран в само число и внутренно отождествлен с ним (что и породило собою, как мы знаем, самую категорию множества).

b) Еще яснее можно видеть осуществление категории подвижного покоя, именно – в т.н. умножении. В теории множеств произведением системы множеств называется множество таких элементов, из которых каждый принадлежит одному какому-нибудь множеству данной системы, а в каждом множестве данной системы есть один, и только один, элемент, входящий в это первое множество. Таким образом, здесь мы имеем в виду, собственно говоря, взятие общей части, потому что здесь берется множество тех элементов, которые являются общими для всех данных (перемножаемых) множеств. В то время как для сложения и вычитания достаточно было только растянуть все элементы слагаемых в одну, так сказать, линию (забывши, что такое множество каждого из таких слагаемых) и рассматривать полученные элементы как нечто целое и тем самым модифицировать категорию самотождественного различия с точки зрения непрерывности, здесь, в умножении, мы должны сначала сравнивать перемножаемые множества, перебегая от одного к другому, с целью достигнуть успокоения, которое только тогда и может быть получено, если мы в результате этого сравнения получим нечто общее, одинаковое. И тогда, сколько бы мы ни бегали, мы будем бегать только, так сказать, в одном и том же круге, т.е. будем, в сущности, стоять на месте. Это-то и есть теоретико-множественное понимание «умножения».

5.

Теория вероятностей также обладает рядом операций, которые в смысле отвлеченного принципа ничем не отличаются от категорий идеальной едино-раздельности, но которые по своему видоизменению в связи с принципом непрерывности приобретают ряд оригинальных черт, усиленных, конечно, кроме того, еще и своеобразием самой теории вероятностей. Тут мы имеем теорему сложения вероятностей: если событие [A] состоит в наступлении одного из двух несовместимых фактов a и b, причем вероятность a = p1 и вероятность b = p2, то вероятность A = p1 + p2. Тут мы имеем теорему умножения вероятностей, касающуюся уже совместимых событий: вероятность совмещения событий A и B равна произведению вероятности события A на вероятность, которую приобретает событие B, когда становится известным осуществление факта A. Некоторым осложнением тех же категорий является, например, понятие математического ожидания, равного алгебраической сумме произведений