Диалектические основы математики - Алексей Федорович Лосев

она несжимаема и нерасширяема и плотность ее дана раз навсегда. Когда дается ее инобытийно становящийся аналог, то этот аналог можно деформировать как угодно. На то он и есть инобытие, становление. И вот, я могу эти точки, из которых состоит множество и о взаимном расстоянии которых раньше не было речи (или шла речь в переносном смысле слова), располагать на том или ином расстоянии одна от другой, располагать их гуще или реже. Вот эта плотность распределения и есть мера. Ясно, что различия «плотности» предполагают введение принципа инобытия в абсолютную «плотность» (или, если угодно, абсолютную разреженность) абстрактного, идеального множества. Но инобытие в сравнении с абсолютной различенностью структуры есть некая неразличимость; неразличимость же есть сплоченность, сплоченность есть континуум, т.е. несчетное множество. Следовательно, наличие малейшей меры, превышающей нуль, уже предполагает несчетное множество.

c) Измеримость множества есть, таким образом, результат его непрерывности. К этому сводятся основные положения теории измеримых множеств, которые, по Н. Лузину[31], звучат так.

· Во всяком измеримом множестве M меры μ, μ > 0 содержится такое совершенное множество P, что

mes P > μ – ε,

где ε > 0, малое как угодно.

· Всякое измеримое множество M меры, большей нуля, есть сумма конечного, или счетного, числа совершенных множеств P1, P2, … не имеющих попарно общих точек, и нуль-множеств[а] N.

· Измеримое множество обладает точками плотности и точками сгущения. Точка a есть точка плотности множества, если отношение

μ(δ) / mes δ,

где δ – интервал, содержащий a внутри, стремится к 1, когда δ стремится к нулю. Та же самая точка есть точка разрежения, если это отношение стремится к нулю вместе с δ.

· Если mes M = 1, всякая точка области [0, 1] есть точка плотности, и, если mes M = 0, всякая точка есть точка разрежения.

Обращаясь к геометрической аналогии, мы находим, что никакое измеримое множество M меры 1 не может быть равномерно расположенным на области [0, 1]. Тут всегда будет, по крайней мере, одна точка плотности и одна точка разрежения, т.е. на этой области имеются два интервала равной длины и неперекрывающиеся, из которых один насыщен точками M, а другой, наоборот, ими беден. Таким образом, всякое измеримое множество меры не 0 и не 1 не будет равномерно покрывать область [0, 1], но

«будет лежать на ней как бы сгустками, будучи слишком уплотненным в одних частях этой области и слишком разреженным в других».

Соответственно надо говорить и о последовательности измеримых функций (такова теорема Д.Ф. Егорова о наличии совершенного множества с равномерной сходимостью последовательности функций) и вообще об измеримых функциях. Для того, чтобы функция f(x), конечная почти всюду на [0, 1], была измеримой функцией, необходимо и достаточно, чтобы, как бы мало ни было положительное число ε, существовало на [0, 1] совершенное множество P, обладающее свойствами:

1. f(x) непрерывна на P,

2. mes P > 1 – ε.

Совершенно ясно, что во всех этих представлениях меры мы все время имеем дело с непрерывностью, т.е. со становлением, но только это не просто становление (иначе у нас получился бы теоретико-множественный континуум), но становление, рассмотренное с точки зрения едино-раздельности, т.е. измеряемое становление.

c) Необходимо также заметить, что здесь мы, как и соответственно выше, в § 2c, в отношении геометрии пришли только к самому общему понятию меры. Собственно говоря, если строго придерживаться рамок нашей общей категории становления, которую мы сейчас изучаем, мы можем утверждать сейчас только то, что существует измеримость множества вообще и больше ничего. Представление множества с точки зрения единораздельности, когда мы имеем в качестве самой сложной категории только категорию типа, было совершенно лишено всякого элемента измеримости, или, иначе, мера чистого и основного множества (счетного множества) – нуль. Теперь же мы приходим к тому выводу, что измеримость может быть и не только нулевой, – только об этом и говорит нам категория становления. Если же мы захотели бы исследовать разные типы измеримости, то это было бы равносильно исследованию разных типов становления, т.е. тут нужен был бы выход за пределы самой категории становления. Но это в полной мере совершится только после перехода нашего становления в ставшее и далее, наконец, в выразительную форму.

7.

Наконец, бросим взгляд на теорию вероятностей в смысле того, как наличная в ней сфера становления испытывает на себе воздействие аксиом едино-раздельности.

Становление, взятое само по себе, есть процесс, последовательность. Когда мы оформляли его при помощи арифметических действий, мы получали ту или иную последовательность чисел. Когда это оформление совершалось у нас при помощи геометрических построений или теоретико-множественных операций, мы получали последовательность тех или иных вариаций пространства или множеств. В теории вероятностей мы тоже должны получить такую последовательность, которая бы свидетельствовала о размеренности ее с точки зрения тех или иных теоретико-вероятностных операций. Процессуальность вероятностей должна свидетельствовать здесь о некоем постоянном законе, неизменном в данной процессуальности. В арифметической последовательности неизменно то или иное арифметическое действие (напр., умножение на какое-нибудь число в геометрической прогрессии); в геометрической последовательности преобразований он имел также тот или иной инвариант. Где же этот неизменный закон тех или иных операций в последовательности вероятностной?

Здесь мы могли бы говорить по-разному. Дело в том, что всю эту сферу «взаимодействия аксиом едино-раздельности и аксиом непрерывности» можно понимать настолько широко, что ею покроется и вся категория наличного бытия, к которой мы еще не перешли. Этого расширения, однако, мы намеренно не производим, так как в указанной сфере «взаимодействия» есть свой вполне самостоятельный диалектический момент. С этой точки зрения момент индивидуальности мы еще не будем выделять в самостоятельный пункт, как это случится в категории наличного бытия, а будем брать его в его максимальной слитности с самой процессуальностью. Таким отделом теории вероятностей является, прежде всего, т.н. закон больших чисел. Его основная идея заключается в том, что с увеличением числа случайных событий, с которым связан данный факт, устанавливается и вероятность факта, сколь угодно близкая к достоверности. Более того, этот закон формулируется с помощью понятия математического ожидания. Но мы не будем входить в этот вопрос, равно как и в анализ знаменитого неравенства Чебышева и его следствий.

Непосредственно видно, что принцип закона больших чисел иначе конструируется, чем выдвинутые выше математические факты в аналитической сфере «взаимодействия». Но остается самое общее сходство – категория становления в ее сформированности при помощи категорий едино-раздельности. Едино-раздельная последовательность массы случайных фактов ведет к установлению специфического процесса, а именно становящегося перехода вероятности в достоверность. В