Динамическое хеджирование: Управление риском простых и экзотических опционов - Нассим Николас Талеб

Результаты показывают увеличение значений там, где есть выпуклость к волатильности (т. е. вне денег). Опционы при деньгах незаметно теряют волатильность из-за небольшой вогнутости (колл ограничен ценой базового актива).

Если бы трейдер включил в модель корреляцию между ценой актива (или ее изменениями) и волатильностью (или ее изменениями), это дало бы значительный результат – улыбка наклоняется влево или вправо со следующими характеристиками:

Улыбка не меняет форму выпуклости, а поворачивается, чтобы учесть асимметрию между верхней и нижней частями. Отрицательная корреляция между ΔS/S (изменения в активах) и Δσ/σ (изменения волатильности) приводит к тому, что цены верхних по страйку опционов будут дешевле, чем нижних, и это может объяснить перекос. Положительная корреляция между ними приведет к положительному перекосу.

Предупреждение. Трудно установить зависимость между ценой актива и волатильностью. Чтобы показать поведение цен активов в условиях перекоса, необходимо соответствующим образом изменить теоретический пример, чтобы учесть следующие факторы:

1. Доходность и волатильность активов могут коррелировать, но нелинейно. Обычно корреляция сохраняется стабильной при небольших движениях, но может быть обратной при больших движениях. Наглядным примером являются фьючерсы на индекс S&P500. Волатильность падает после небольшого ралли, но увеличивается после большого.

2. Для трейдеров, которые изучили исторические данные, очевидно, что волатильность, если она есть, коррелирует (или, что более уместно, ассоциирована) с диапазоном цен активов, а не с ценой актива или ее вариацией. Неудивительно, что ее поведение оценивается по пороговым значениям. Падения рынка не увеличивают волатильность, если они происходят в пределах устоявшегося диапазона, особенно после ралли. Такие связи нелегко смоделировать (несмотря на все попытки подобных моделей ARCH).

Часто возникает вопрос – почему переменная волатильность приводит к появлению толстых хвостов[180]?

● Основным объяснением данного явления является вероятность, что цены активов зависят от состояния волатильности. Рассмотрим для примера случайную волатильность и случайные цены активов. Легко понять, что условием попадания в хвосты является состояние высокой волатильности. Высокая волатильность легче выталкивает рынок в хвосты, чем низкая. Таким образом, хвосты будут иметь толщину более высокой волатильности.

● Низкая волатильность с большей вероятностью удержит рынок в середине, на пике распределения. Таким образом, распределение, когда оно находится посередине (т. е. при отсутствии существенных изменений рыночных цен), с большей вероятностью примет форму более низкой волатильности.

Эту концепцию еще проще понять графически. На рис. 15.2 показаны два распределения, одно из которых имеет в четыре раза бо́льшую волатильность, чем другое. Распределение с высокой волатильностью имеет более толстые хвосты. Распределение с низкой волатильностью имеет более высокий пик. Таким образом, можно представить, что при смешении двух распределений более высокая волатильность будет доминировать над хвостами, а более низкая – над центральном сегментом.

Гистограммы рынков

■ Гистограмма показывает относительную частоту некоторых величин доходности (или, чаще, логарифмов изменения цены) в определенном временно́м интервале. Обычно гистограмма показывает суточные изменения. Частота получается путем разбивки движений на интервалы и подсчета процентного (или общего числа) количества вхождений в каждом интервале.

На рис. 15.3–15.6 показано фактическое распределение следующих активов: доходность японской иены, S&P500 и 30-летних американских государственных облигаций, а также фьючерсов на евромарку. Данные по первым трем охватывают 10 лет, а по последним – 3 года. Они демонстрируют гистограммы периодической разницы в логарифмах цен (доходностей), построенных против нормального распределения с такой же общей волатильностью. На всех рисунках виден синдром высокого пика.

Наблюдательный читатель может заметить высокие пики вместо толстых хвостов. По факту трейдеры, делающие ставки против толстых хвостов, обычно играют против пика. Они чаще пытаются получить прибыль, когда ничего не происходит, а не во время экстремальных движений.

Пример: индивидуализированное распределение с толстыми хвостами. Для развлечения (в летний день, который квалифицируется как «высокий пик») автор придумал следующее распределение – три режима на рынке, каждый из которых имеет свою волатильность:

● случай 1: волатильность составляет 15 % (нормальные рыночные условия);

● случай 2: волатильность составляет 5 % (праздничное настроение и летняя дремота);

● случай 3: волатильность составляет 20 % (беспокойство).

Возможность нахождения в каждом режиме волатильности одинакова.

Моделирование методом Монте-Карло дает гистограмму, показанную на рис. 15.7.

Перекос и смещенные активы

■ Перекос – это асимметрия в распределении. Возьмем дневное движение базового актива

Он будет положительным, если есть положительная корреляция между xt и

На рис. 15.8 и 15.9 показаны две степени перекоса в распределении. Перекос довольно сложно преобразовать в перекошенную поверхность волатильности. Представленный выше линейный показатель перекоса слишком неинформативен, чтобы правильно объяснить истинную зависимость между волатильностью и ценой базового актива. Во многих случаях динамический хеджер зарабатывает деньги, владея дорогими путами и продавая дешевые коллы, несмотря на близкую к симметричной гистограмму.

Мастер опционов: графическое представление распределения Парето–Леви[181]

Многие трейдеры слышали о семействе стабильных распределений Парето–Леви. Это широкий класс распределений, которые называют стабильными, поскольку они могут быть смещенными. Трейдер должен знать, что колоколообразное распределение – это лишь один из конкретных случаев этого большого и несчастливого семейства.

Характеристическая функция распределения Парето–Леви:

Log f (t)= iσt – Γ |t|α (l + iβ (t/|t|) tan (απ/2),

где i – мнимое число

Функция не имеет второго момента (т. е. не имеет дисперсии), когда α < 2, и не имеет первого момента (это значит, что нет среднего) для α < 1. Это означает, что функция имеет бесконечную дисперсию – нечто пугающее для любого участника рынка. Физически левый и правый хвосты никогда не приближаются к источнику.

Как показано на следующем графике, обратная характеристическая функция (т. е. вытекающая из нее функция плотности) имеет следующую форму: по мере того как α снижается с 2 до 0, хвосты становятся толще, а сближение плотности с нулевой вероятностной отметкой происходит медленнее. По мере уменьшения α для отображения распределения требуется все более широкий и широкий график. Это иллюстрирует понятие бесконечной волатильности – невозможно вписать график в границы визуального кадра[182].

Еще больше пугает ситуация, когда распределение не имеет математического ожидания, пик не виден, но линии поднимаются к потолку, не встречаясь.

Многие сторонники теории хаоса жаловались на злоупотребление распределениями Парето–Леви в литературе, посвященной низкому рынку.

Трейдерам легче думать о толстых хвостах как о результате изменения волатильности, а не о продукте раздутой дисперсии. На самом деле распределение Парето–Леви – это плод очень высокой