Завтрак с Эйнштейном. Экзотическая физика повседневных предметов - Чад Орцель

Допустимые частоты внутри коробки называются «моды стоячих волн» и определяются размером коробки и ограничением, что ни одна из волн не должна ее покидать (если дырочка в коробке достаточно мала, и часть света, покидающая коробку так невелика, что ее можно смело проигнорировать). Для наглядности, чтобы понять происхождение и характеристики этих мод стоячих волн, мы можем упростить еще больше, представив «коробку», у которой только одно измерение: волны могут путешествовать только вправо, влево и ни в каких других направлениях. Этому есть простой и часто встречающийся в повседневной жизни аналог – струна музыкального инструмента.

Гитарист извлекает звук, дергая за струну и создавая возмущение, которое распространяется в форме волны и колеблет струну вверх и вниз. Два конца струны зафиксированы, поэтому когда бегущая по ней волна достигает пальца гитариста, прижимающего струну к ладу, она отражается обратно, изменяя направление движения вниз по грифу. Не требуется много времени, пока волна, путешествующая в противоположном направлении, окажется на том же участке струны, где они интерферируют (накладываюся) друг с другом, как свет от двух щелей в знаменитом эксперименте Юнга. Если вы сложите вместе все эти волны, то обнаружите, что большинство длин волн в результате полностью были уничтожены за счет интерференции. Каждая волна старается приподнять струну своим максимумом (пиком), а другая старается опустить ее своим минимумом (долиной), и они взаимно уничтожают друг друга. Для очень ограниченного набора длин волн, однако, возникает конструктивная интерференция: все возможные отраженные волны поднимаются своими гребнями точно в одном и том же месте. Эти длины создают стабильную картинку (паттерн) волн вдоль струны, где некоторые ее части слегка колеблются, а другие остаются на одном месте.

Наиболее простой из этих паттернов – «основная мода» с единственным колеблющимся узлом между зафиксированными концами. Мы обычно рисуем ее как выступающий горб, но в действительности он изменяется во времени: часть струны в середине то поднимается вверх, то падает вниз до плоского состояния, то опускается вниз, создавая отрицательный пик, затем обратно до нуля, вверх до максимума и так далее. Время, требующееся для выполнения одного колебания, определяется частотой, связанной с длиной рассматриваемой волны.

Длина волны определяется расстоянием, которое надо пройти от пика до долины и снова обратно на пик. Единичное «вверх-назад к нулю» движение составляет половину волны, так что длина волны, связанная с основной модой, – дважды длина струны. Следующим простейшим паттерном будет полная волна между зафиксированными концами, поднимающаяся вверх (или опускающаяся вниз) и затем назад вниз (или вверх) с зафиксированным «узлом» в центре, где струна не движется; длина волны второй «гармоники[50]» точно равна длине струны. Следующая гармоника имеет одну с половиной волны (три колеблющихся горба и два узла) для длины волны в две трети длины струны; следующий имеет две волны с длиной волны в половину длины струны и так далее.

Некоторые из мод стоячих волн в одномерной «коробке» длиной L с длиной волны (лямбда) для каждой моды

Если мы внимательно посмотрим на допустимые моды, то найдем очень простую зависимость: в каждой из допустимых мод стоячих волн целое число половин длин волны должно укладываться в длину струны. Существует дискретный набор этих допустимых мод, и мы можем каждой из них присвоить номер по количеству колеблющихся горбов в соответствующей картинке.

Звук, что мы слышим от гитары, представляет прекрасную аналогию спектра, который мы видим в модели черного тела. Начальный щипок за струну будет возбуждать волны с огромным количеством различных частот, как свет, входивший в коробку нашего черного тела. После очень короткого времени, однако, деструктивная интерференция между множественными отражениями от концов струны или стенок коробки уничтожает большинство этих длин волн, оставляя только те, которые соответствуют модам стоячих волн.

В случае с гитарной струной большинство энергии волны поступает в основную (первую) моду, что в первую очередь определяет звук, который мы слышим. Чем больше частота гармоник, тем меньше на их долю остается энергии, но они все-таки присутствуют и ответственны за богатый звук настоящего инструмента по сравнению, скажем, с компьютерным звуком, сгенерированным в одном единственном тоне. Множественные различные настройки и эффекты, используемые гитаристами, производят отчетливо различные тона за счет усиления некоторых из этих гармоник и подавления других, чтобы создать особый звук, скажем, у гитары Джерри Гарсии[51] или Джими Хендрикса[52].

Для световых волн в нашей коробке, изображающей черное тело, распределение энергии формируется не только эстетическими вкусами конкретного игрока, но и с помощью простого правила из физики тепла: равное распределение. Процесс определения мод стоячих волн считается несколько более сложным для света в трех измерениях, чем звука в одном измерении, но приводит к тому же результату – можно насчитать ограниченный набор пронумерованных мод. Раз уж мы знаем эти моды, закон равного распределения энергии говорит нам присвоить каждой моде равную часть общей энергии, полученной от теплового движения частиц, из которых состоят стены коробки[53].

Проблема в том, что по мере того как длины волн становятся все короче, длины волн допустимых мод становятся все ближе и ближе друг к другу. Если мы подсчитаем количество мод внутри некоторого заданного диапазона длин волн, мы обнаружим что оно возрастает бесконечно на коротких волнах (мы помним, они соответствуют высоким частотам). Если мы вообразим струну длиной в полметра с основной волной длиной в один метр, допустимы две моды с длиной в пять миллиметров между 0.1 метра и 0.095 метра, то есть две длины волны, которые могут уложить целое количество своих полуволн в длину струны. В диапазоне пятимиллиметровой длины волны между 0.02 метра и 0.015 метра существует тридцать четыре моды.

В терминах спектра эта модель не дает хорошего, простого пика (максимума) на промежуточных длинах волны, найденных в экспериментах. Наоборот, модель утверждает, что любой объект, независимо от температуры, должен излучать бесконечное число коротковолнового (высокочастотного) излучения. Это не совсем то, что мы хотели бы иметь в своем тостере.

Спектр теплового излучения при разных температурах плюс предсказания модели Рэйли-Джинса, т. е. «ультрафиолетовая катастрофа».

Провал прямолинейного подсчета мод был настолько тяжелым, что приобрел название «ультрафиолетовой катастрофы»[54]. Объяснение максимума, наблюдаемого в спектре реального черного тела, и успешное описание Планком в 1900 году в его формуле потребовало фундаментальных сдвигов в нашем понимании того, как распределяется энергия.

Квантовая гипотеза

К счастью,