Квантовые вычисления со времен Демокрита - Скотт Ааронсон

этим — в смысле, пустой философской болтовней. На этот счет существует стандартный ответ: философия, мол, занимается интеллектуальной расчисткой, это уборщики, которые приходят вслед за физиками и пытаются навести порядок, разобрав оставленный ими хлам. Согласно этой концепции, философы сидят в своих креслах и ждут, чтобы в физике или вообще в науке появилось что-нибудь интересное — квантовая механика, скажем, или неравенства Белла, или теорема Гёделя; после этого они (приведем метафору с обратным знаком) слетаются на новинку, как стервятники, и объявляют: ах, вот что это означает на самом деле.

Ну, на первый взгляд все это кажется каким-то скучным. Но, когда привыкаешь к подобной работе, мне кажется, обнаруживаешь, что это… все равно скучно!

Лично меня интересует в первую очередь результат — поиск решений нетривиальных, хорошо определенных и еще нерешенных задач. Какова же здесь роль философии? Мне бы хотелось предложить для философии более интересную и возвышенную роль, чем роль интеллектуального дворника: философия может быть разведчиком. Она может быть исследователем-первопроходцем — наносить на карту интеллектуальный ландшафт, который позже будет обживать физика. Далеко не все области естественных наук были заранее обследованы философией, но некоторые были. А в недавней истории, мне кажется, квантовые вычисления могут послужить эталонным примером. Замечательно, конечно, говорить людям: «Заткнитесь и считайте», но вопрос в том, что именно им следует считать. По крайней мере, в квантовых вычислениях (моя специальность) то, что мы любим считать, — емкость квантовых каналов, вероятности ошибок в квантовых алгоритмах — это такие вещи, которые никому в голову не пришло бы считать, если бы не философия.

2. Множества

Здесь мы будем говорить о множествах. Что будут содержать эти множества? Другие множества! Как куча картонных коробок, открыв которые, обнаруживаешь внутри только новые картонные коробки, и так далее, до самого дна.

Вы можете спросить: «Какое отношение все это имеет к книге о квантовых вычислениях?»

Ну, будем надеяться, что кое-какие ответы на этот вопрос мы увидим чуть позже. Пока же достаточно сказать, что математика есть основа всякой человеческой мысли, а теория множеств — счетных, несчетных и др. — основа математики. Так что неважно, о чем у нас книга, в любом случае множества — прекрасная тема для начала.

Мне, вероятно, следует без обиняков сказать вам, что я собираюсь втиснуть весь курс математики в эту одну главу. С одной стороны, это означает, что я не рассчитываю всерьез, что вы все поймете. С другой стороны, в той мере, в какой поймете, — замечательно! Вы получаете целый курс математики в одной главе! Добро пожаловать.

Итак, начнем с пустого множества и посмотрим, как далеко нам удастся пройти.

Пустое множество

Вопросы есть?

На самом деле, прежде чем говорить о множествах, нам необходимо обзавестись языком для разговора о множествах. Язык, который придумали для этого Фреге, Рассел и другие, называется логикой первого порядка. Он включает в себя булевы функции (и, или, не), знак равенства, скобки, переменные, предикаты, кванторы («существует» и «для любого»[10]) — и, пожалуй, все. Говорят, что физики испытывают со всем этим сложности… Эй, потише, я просто пошутил. Если вы прежде не встречались с таким способом мышления, значит, не встречались, ничего страшного в этом нет. Но давайте все же пойдем навстречу физикам и пробежимся по основным правилам логики.

Правила логики первого порядка

Все правила здесь говорят о том, как составлять предложения, чтобы они были корректны — что, говоря по-простому, означает «тавтологически истинны» (верны для всех возможных подстановок переменных)[11], но что мы пока можем представить просто как комбинаторное свойство определенных символьных строк. Я буду печатать логические предложения другим шрифтом, чтобы их было легко отличить от окружающего текста.

• Пропозициональные тавтологии: A или не A, не (A и не A) и т. п. — истинны.

• Modus ponens (правило отделения): если A истинно и из A следует B истинно, то B истинно.

• Правила равенства: высказывания x = x; из x = y следует y = x; если x = y и y = z, то x = z; и из x = y следует f (x) = f (y) — истинны.

• Замена переменных: при изменении имен переменных высказывание остается истинным.

• Исключение квантора: если для всех x A (x) истинно, то A (y) истинно для любого y.

• Добавление квантора: если истинно A (y), где y — переменная без ограничений, то для всех x, A (x) истинно.

• Правило квантификации: если не (для любого x, A (x)) истинно, то существует такой x, что не (A (x)) истинно.

Приведем в качестве примера аксиомы Пеано для неотрицательных целых чисел, записанные в терминах логики первого порядка. В них S(x) — это функция следования, интуитивно S(x) = x + 1, и я предполагаю, что функции определены заранее.

Аксиомы Пеано для неотрицательных целых чисел

• Нуль существует: существует такое z, что для любого x, S(x) не равно z. (Это z принимается за 0.)

• Каждое целое число имеет не более одного предшественника: для любых x, y если S(x) = S(y), то x = y.

Сами неотрицательные целые числа называют моделью этих аксиом: в логике слово «модель» означает всего лишь любой набор объектов и функций этих объектов, удовлетворяющий условиям аксиом. Интересно, однако, что точно так же, как аксиомам теории групп удовлетворяет множество разных групп, так и неотрицательные целые числа — не единственная модель аксиом Пеано. К примеру, вы можете убедиться, что добавление к этой модели дополнительных искусственных целых чисел, недостижимых от 0, — чисел, лежащих «за бесконечностью», так сказать, — даст нам еще одну полноценную модель. При этом, как только вы добавите к модели одно такое целое число, вам придется добавить их бесконечно много, поскольку у каждого целого числа должно быть число, непосредственно за ним следующее.

Кажется, что, записывая эти аксиомы, мы занимаемся бессмысленной казуистикой, — и в самом деле, здесь возникает очевидная проблема курицы и яйца. Как можем мы формулировать аксиомы, которые подведут под целые числа более прочный фундамент, если сами символы и вообще все, что мы используем для записи этих аксиом, подразумевает, что мы уже знаем, что такое целые числа?

Так вот, именно поэтому я и не считаю, что аксиомы и формальную логику можно использовать для подведения под арифметику более надежного фундамента. Если вы почему-то не согласны с тем, что 1 + 1 = 2, то сколько ни изучай математическую логику, понятнее это не