История философии - Энтони Грейлинг

и прямоугольников, и продемонстрировали ряд арифметических свойств через геометрию этих фигур. Фигурные числа имели и религиозное значение: числом, которым пифагорейцы скрепляли свои клятвы, была «тетрактида декады» — треугольник из точек с основанием из четырех точек, над которыми располагались три, затем две и, наконец, одна, что в сумме давало десять. Пифагорейцы считали десятку естественным основанием счета и придавали ей мистическое значение. Существует, конечно, бесконечное множество «треугольных чисел»: тройка представляется в виде треугольника из двух точек в основании и одной над ними; шестерка — в виде треугольника из точек, расположенных по схеме «3–2–1»; десятку мы уже видели, а пятнадцать — это «5–4–3–2–1»,

и так далее. Ряды и столбцы с одинаковым числом точек дают «квадратные числа», тогда как «продолговатые числа» — это те, в которых в рядах на одну точку меньше, чем в столбцах:

Сейчас мы используем цифры, восходящие в своем происхождении к Индии (хотя теперь их называют «арабскими цифрами», поскольку арабы распространили их по всему миру), но мы все еще часто называем числа «фигурами» (figures).

Если и есть вещь, которую почти каждый знает о пифагорейцах, так это «теорема Пифагора», гласящая, что квадрат гипотенузы (самой длинной стороны прямоугольного треугольника, лежащей против прямого угла) равен сумме квадратов двух других сторон: где a — гипотенуза, a2 = b2 + c2. На самом деле это было известно Фалесу, египтянам в их геометрических расчетах при измерении земель, а также вавилонянам и индийцам задолго до этого; но возможно, что Пифагор или кто-то из его последователей нашел доказательство.

Важнейшим достижением пифагорейской школы стало открытие того, что высота музыкального тона зависит от длины струны, вибрации которой производят этот тон, и что простые числовые отношения объясняют консонирующие интервалы гаммы: 2:1 — октава, 3:2 — чистая квинта, 4:3 — чистая кварта и так далее. Чтобы понять это, представьте себе две гитарные струны одинаковой длины, натяжения и толщины. Если ущипнуть обе струны одновременно, они будут звучать одинаково. Если же зажимать и извлекать звук из струн разной длины, они порой звучат диссонирующе, а порой — консонирующе. Последнее наблюдение лежит в основе измерения консонирующих интервалов: интервал — это расстояние между двумя нотами, а консонирующий интервал — это такой интервал, в котором две ноты звучат гармонично вместе. Эксперимент покажет: если взять две струны одинаковой длины, натяжения и толщины, то защипывание одной из них при одновременном защипывании ровно половины длины другой даст консонанс — это и есть октава. Если же у второй струны взять две трети длины от первой, то результатом станет чистая квинта (подойдите к пианино и сыграйте одновременно до первой октавы и соль первой октавы: это чистая квинта).

Это открытие — даже в большей степени, чем теорема о квадрате гипотенузы, — провозглашают первым шагом настоящей науки, поскольку оно дает количественное описание наблюдаемого явления. А в своем расширении до идеи «гармонии сфер» оно обобщает эту концепцию на всю природу. Пифагорейцы полагали, что небесные тела, летя сквозь пространство, издают гул, а расстояния между ними таковы, что образуют гамму: Землю и Луну отделяет друг от друга тон, Луну от Меркурия — полутон, Венеру от Солнца — малая терция; Марс от Юпитера и Юпитер от Сатурна — тоже по полутону, а Сатурн от сферы неподвижных звезд — малая терция.

Для пифагорейцев, как и для других — включая Платона, — идея гармонии со временем приобрела не просто математическое значение пропорций, рождающих консонансы; она стала ключевой метафорой в размышлениях о вопросах этики и психологии. Однако даже сама по себе, без дальнейших философских применений, она представляет собой выдающийся шаг вперед.

Прозрения и открытия пифагорейской математики привели не только к этическим идеям, но и к метафизике, в которой сама реальность рассматривается как состоящая из чисел. Как утверждают, девизом над входом в пифагорейскую ложу было «Все есть число». Представьте себе точки как атомы; пифагорейцы формулировали это иначе, но связь напрашивается сама собой, тем более что структура материальных объектов — возьмем, к примеру, кристалл — информативно описывается на языке геометрии. Возможно, пифагорейцы имели в виду не совсем это, ведь Аристотель сообщает, что они приписывали числовые значения определенным абстрактным понятиям, таким как справедливость и брак: справедливость — это четыре, брак — три, а «благоприятный момент» — семь. Нечетные числа считались мужскими, четные — женскими. Смысл подобных воззрений неясен. Но также вполне вероятно, что они представляли мир состоящим по своей структуре из целых чисел и их отношений, на что указывает их реакция — их исполненная ужаса реакция — на открытие иррациональных чисел. Поясним это следующим образом.

Рассмотрим соотношение между длиной стороны квадрата и длиной диагонали, проведенной из одного угла квадрата в противоположный. Отношение длины диагонали к длине стороны невозможно выразить в целых числах. Пифагорейцы считали эту несоизмеримость ужасным и даже зловещим явлением.

Чтобы понять, в чем тут дело, представим себе квадрат со стороной в один метр. Определить длину диагонали кажется делом простым, ведь она является гипотенузой прямоугольного треугольника, который она образует с двумя сторонами квадрата. Мы знаем, что квадрат длины диагонали равен сумме квадратов двух других сторон: он равен двум квадратным метрам, поскольку (1 × 1) + (1 × 1) = 2. Но чему равен квадратный корень из 2? Очевидно, это число, которое при умножении на само себя дает 2. Что это за число? Это не может быть 1, потому что 1 × 1 = 1. Это не может быть 2, потому что 2 × 2 = 4. Следовательно, это нечто среднее между 1 и 2. Но чем бы оно ни было, его невозможно выразить как отношение двух целых чисел; это не простая дробь. Проще всего это понять в десятичной системе: иррациональное число — это число, десятичное представление которого никогда не заканчивается и не становится периодическим (то есть не имеет регулярных повторений). Как же природа может состоять из чисел, которые ведут себя столь неподобающим образом?

Легенда гласит, что открытие иррациональных чисел стало для пифагорейцев настолько тяжелой травмой, что человек, совершивший его (или, как утверждают некоторые другие предания, человек, который разгласил тайну после того, как члены ордена поклялись хранить ее в секрете), а именно Гиппас из Метапонта, был в наказание утоплен.

Открытия и взгляды пифагорейцев кажутся столь отличными от воззрений их ионийских предшественников, что возвращение на более знакомую почву в их