Диалектические основы математики - Алексей Федорович Лосев

присоединенная к нашему неограниченному множеству, уже ослабленному введением принципа равенства и неравенства, превращает ее в определенным образом упорядоченное множество, т.е. такое множество, где имеет первостепенное значение порядок (и тот и другой вид, тип этого порядка) следования единиц одна за другой.

Таково инобытие единицы, охарактеризованное этими тремя основными свойствами – принципами

1) неограниченного множества,

2) равенства и неравенства и

3) порядковости.

2.

Теперь предстоит установить синтез единицы и ее инобытия, охарактеризованного этими тремя принципами. Эти три принципа, какой бы определенностью и осмысленностью ни обладали, все же должны оставаться и остаются инобытием. Их инобытийность сказывается в том, что они не содержат в себе никакого единого принципа, который создал бы в них ту или другую структуру. Возьмем первый принцип. Этот принцип неограниченного множества по самому смыслу своему есть принцип чисто инобытийный, потому что определяемое им неограниченное множество уже само по себе совершенно неупорядоченно и неструктурно и требует для себя иных принципов, чтобы превратиться в так или иначе сформированное множество. Точно так же ни о какой структурности не говорит и принцип равенства и неравенства. Он говорит только то, что в инобытии одни моменты равны другим и другие неравны этим другим. Но что именно равно и неравно и в каком порядке совершается это уравнение одного другому, в голом принципе равенства ровно ничего не сказано. Наконец, и принцип порядка также ничего не говорит о способах и методах упорядочивания. Этих способов может быть сколько угодно.

Синтез должен объединить эту инобытийную неопределенность с бытийной определенностью единицы и тем дать этой неопределенности определенную структуру, лишить ее указанной только что растекаемости. Синтез бытия и инобытия в отвлеченном смысле слова проявляется обычно как становление. Единица перестает быть изолированной неприступностью и втягивается в процесс становления, начинает меняться и постепенно приобретать новые формы. Инобытие также перестает быть разбросанной и неоформленной текучестью и вовлекается в процесс стройного и постепенного становления. В становлении модифицируется единица в направлении своего инобытия и инобытие – в направлении своего бытия, единицы. Единица должна плюрализироваться, и меональная множественность должна подчиняться единству. Посмотрим, как это происходит в отдельных моментах.

3.

a) Единица есть акт полагания. Ему противостоит неограниченное множество. Необходимо в целях синтеза отождествить оба эти принципа и понять их как нечто единое. Получается, что акт полагания должен быть неограниченным множеством, т.е. он должен неограниченное число раз повторяться; а, с другой стороны, неограниченное множество должно быть одним единым актом полагания, т.е. оно должно быть единым образом распределено. Покамест множество в своей неопределенности оставалось вне принципа едини[цы], его элементы могли распределяться как угодно и связь между ними могла быть какая угодно, и даже могло совсем ее не быть. Внесение принципа единства должно привести к тому, чтобы любой момент в этом множестве оказывался не чем иным, как единицей, и отношение одного момента к другому было не чем иным, как единицей. Только при этих условиях неограниченное множество может быть трактовано как преобразованное по закону единицы, ибо единица, воплощенная на всяком инобытии как именно единица (так, чтобы она везде была видна как таковая), превращается в единство этого инобытия, т.е. в единство этого многого, в его связь, самоотнесенность, и единство такое, чтобы оно было видно в каждом элементе этого многого. Становление – общая арена синтеза бытия и инобытия – в данном случае оказывается становлением, которое имеет своим результатом единство распределения множества, взаимопринадлежность его элементов. Употребляя популярные и житейские выражения, можно сказать, что это приводит к одинаковой силе удара каждого акта полагания в этом безграничном множестве и, кроме того, к одинаковым расстояниям между этими ударами или одинаковыми промежутками времени, промежутками между разными ударами. В результате применения принципа единства распределения наше инобытийное безграничное множество превращается в равномерную пульсацию ударов, в равномерность (по силе и по интервалам) различных актов полагания, в связь взаимопринадлежащих элементов. Таков этот принцип единства распределения.

b) Переходим ко второму моменту – к категории самотождественного различия. Единица есть самотождественное различие. Ему противостоит категория равенства и неравенства. Необходимо в целях синтеза отождествить оба эти принципа и понять их как нечто единое. Равенство и неравенство ничего не говорят сами по себе о характере и методе установления равенства и неравенства. Это голые принципы, и по природе своей они суть инобытийные категории, нуждающиеся в конкретизации и структурном оформлении. Отождествление с единицей как диалектическим синтезом должно привести к единству установления равенств и неравенств. А так как это единство устанавливается на почве общего синтеза бытия и инобытия, именно – становления, то в результате должен возникнуть принцип единства установления равенств и неравенств в общей стихии становления. Другими словами, становление должно единообразно устанавливать равенства и неравенства. Но неравенство есть или наличие «больше», или наличие «меньше», т.е. или увеличение, или уменьшение. Следовательно, тут мы наталкиваемся на принцип равномерности увеличения или уменьшения, равномерности нарастания инобытийного множества.

Еще можно сказать, что это есть принцип единства направления процесса множества. В предыдущем случае становление дало нам единство распределения отдельных моментов множества. Теперь это единое распределение получает еще и единое направление. Одинаковым образом относящиеся друг к другу точки могли бы иметь самое разнообразное направление и могли бы как угодно его менять. Но принцип единства становящихся равенств и неравенств требует, чтобы и в этом становлении было определенное единообразие. Если раньше мы говорили об одинаковости удара, дающего необходимые для множества акты полагания, и также об одинаковости интервалов между этими ударами, то теперь мы должны говорить о единстве направления этих равноотстоящих друг от друга равноинтенсивных ударов-полаганий. Здесь все удары-полагания вытянуты в одну прямую линию. И это создается специально единством становления в аспекте самотождественного различия. Когда там, в условиях единства распределения, мы просто имели ряд точек, то тут, переходя от одной точки к другой, мы замечаем, что это одна и та же точка, та же самая точка (ибо тут действует категория самотождественного различия); и, таким образом, тут мы двигаемся все к тому же и к тому же и тем самым создаем единство направления.

c) И наконец, единица есть подвижной покой. В инобытии этому аспекту единицы противостоит категория порядковости. Когда проходится путь, а потом фиксируется он как таковой, то все пройденные моменты пути закрепляются как бы на одном месте, в одной связке. Пока мы только движемся, мы как бы забываем пройденные этапы пути; мы переходим все к новым и к новым моментам. Правда, тут действует еще установленный выше принцип самотождественного различия. Однако этот принцип заставляет фиксировать только то, что новый этап