Диалектические основы математики - Алексей Федорович Лосев

Тут нет собрания всех пройденных точек воедино.

Принцип самотождественного различия требует только признать, что, придя от одного к другому, мы в этом другом нашли то же самое; но это не значит, что мы присчитали новый акт полагания к предыдущему акту. Наоборот, самый акт, самый удар мы могли бы вполне и забыть; мы помним только то, что именно полагается, и констатируем, что все эти полагаемые содержания есть одно и то же полагание. Но мы, пользуясь только категорией самотождественного различия, еще не уполномочиваемся на собирание самых ударов воедино, еще не знаем, какие удары-полагания мы проделали, и, значит, еще ничего не можем ответить на вопрос «сколько».

На этот вопрос можно получить ответ только в связи с применением категории подвижного покоя. Ибо «подвижной покой» заставляет останавливать движение и приводит к покою пройденный путь, заставляя понимать его как нечто единое. Мы должны объединить единицу с ее инобытием в аспекте подвижного покоя, т.е. единица должна субстанциально осуществиться в подвижно-покоящемся инобытии.

Это значит, что

1) мы движемся,

2) пройдя тот или иной путь, мы останавливаемся, и весь пройденный путь оказывается покоящимся, так что мы можем обозревать его как угодно и, наконец,

3) обозревая пройденные этапы (удары-полагания), понимаем их как единицу, данную в ее субстанции, как субстанцию единицы.

Первое создается инобытийным движением, второе – инобытийным покоем, третье – принципом синтезирования инобытия единицы с самой единицей. Тут-то и появляется впервые возможность сосчитать все удары-полагания, которые были произведены раньше. Вместо растягивания в линию все эти удары-полагания возвращаются, в силу категории подвижного покоя, к одной и той же точке, из которой мы пытались выходить. Все удары оказываются направленными в одну и ту же точку, и движение оказывается только счетом.

Тут происходит определенное оформление того голого упорядочивания, которое мы выше выставили как инобытие подвижного покоя. Инобытие подвижного покоя есть какое-то (какое угодно) упорядочение, или порядковость. Необходимо, чтобы эта порядковость была конструирована по типу единицы, чтобы все пройденные моменты оказались, так сказать, «в одном месте», чтобы все они, взятые вместе, оказались одной «единицей».

§ 89.

Диалектическая формула натурального ряда

1.

Итак, бытие единицы и инобытие единицы синтезируется в становление единицы. Это становление, во-первых, синтезирует акт полагания бытия единицы и безграничного множества инобытия единицы; получается становление единообразно связанной взаимопринадлежности, становление единообразно распределенного ряда единичных полаганий.

Во-вторых, становление синтезирует самотождественное различие бытия единицы с принципом равенства и неравенства инобытия единицы; получается становление единообразного направления ряда единичных полаганий.

В-третьих, наконец, становление синтезирует подвижной покой бытия единицы с принципом упорядочивания, объединения, собирания инобытийных полаганий; получается становление единообразной упорядоченности ряда всех единичных актов инобытийного полагания.

2.

Первый принцип дает нам становление единицы в виде безграничного ряда полаганий, которым обеспечивается полная равномерность следования одного за другим. Эти полагания по природе своей оказываются здесь совершенно одинаковыми, и интервалы между ними также вполне одинаковы. Тут еще ничего не говорится о качествах этих полаганий, т.е. о том, что именно полагается, ни о том, в каком порядке полагается. Перед нами, следовательно, возникает в процессе становления единицы безграничный ряд актов-полаганий, ударов, единиц, распределенный так, что и каждый такой акт-полагание возникает одинаково и одновременно с другими актами-полаганиями, и самое возникновение везде одинаково, т.е. всегда и везде оно есть возникновение единицы. Если изобразить это геометрически, то перед нами возникает здесь бесконечный ряд точек, равноудаленных одна от другой.

3.

Второй принцип ставит вопрос о том, что именно полагается в актах-ударах, которые мы здесь полагаем. И ответ гласит: полагается всегда и везде одно и то же. Качественно все эти полагания-акты суть полагания одного и того же. Но если каждая последующая точка есть та же, что и предыдущая, это значит, что все эти точки движутся к одному и тому же, т.е. в одном и том же направлении. Наш бесконечный ряд точек, равноудаленных одна от другой, становится прямой линией, в то время как единство взаиморасположения точек, постулированное первым принципом, само по себе еще ничего не говорит о направлении. И направление тут может быть иным.

4.

Но, ограничиваясь этими двумя новыми принципами, мы, переходя к новой точке, знаем только то, в каком направлении мы двигаемся. Однако мы не можем помнить только качество того, что утверждается, при новых и новых утверждениях и ограничиваться установлением только качественных отождествлений. Необходимо, чтобы тождественным был и самый переход от одного к другому – с непереходом, т.е. чтобы тождественно было не только качество «что» всех полаганий, но и самая субстанция этих полаганий, чтобы, делая иное полагание, мы делали, в сущности, то же самое полагание. Это и есть третий принцип. Тогда движение равносильно покою, удары-полагания направляются не в разные, но все в одну и ту же точку; и – мы получаем возможность считать, потому что все удары-полагания накопляются, сгущаются как бы «в одном месте», ибо они неизменно возвращаются в одну и ту же точку. Это есть принцип порядковости, т.е. принцип сгущения, скучивания, накопления актов полагания в одной точке. Остается, значит, только, чтобы этот процесс накопления был понят как абсолютная единица, т.е. чтобы это упорядочиваемое инобытие накопляющихся точек было понято как абсолютная единица, и – результат пересчета всех предыдущих актов полагания превращается в одно и единственное, абсолютно единичное число натурального ряда. Отныне всякое движение в сфере этого становления будет счетом, и всякий покой в сфере этого становления будет счетом. Привлекая употребленный выше подсобный образ геометрической линии равно расставленных и тождественных точек, мы должны теперь коренным образом его реформировать. Это уже не будет линия, но всего только одна точка, – однако такая, в которой собраны все акты полагания, растянутые раньше, и вернее, – одна пульсирующая точка, один пульсирующий акт полагания. С каждым новым актом полагания растет и накопление этих актов в данной точке (вместо прежнего их внеположного растягивания в одну прямую линию), т.е. растет число, растет натуральный ряд чисел.

5.

Отсюда, натуральный ряд чисел характеризуется в последнем счете тремя принципами – принципами

· единства расположения,

· единства направления и

· единства порядка сгущения (накопления) актов полагания.

Натуральный ряд чисел есть становящийся синтез единицы и ее инобытия, данный как одинаковость взаимопринадлежности распределения, направления и порядковости (накопления, сгущения) актов полагания.

Или короче: натуральный ряд есть становление тождества единицы с ее инобытием.

§ 90.

Переход к типам числа

1.

С возникновением натурального ряда