Диалектические основы математики - Алексей Федорович Лосев

не хватает? Очевидно, наша непрерывность должна получить какую-то определенную структуру, и в этой структуре непрерывности, по-видимому, и кроется вся диалектическая загадка предела. В понятии предела мыслится еще направление процесса. Непрерывное изменение должно быть направлено в определенную сторону, чтобы стремиться именно к пределу. Но для этого необходимо, чтобы мы при всей непрерывности изменения все же различали один момент непрерывности от другого. Если мы это различение производим, то мы получаем возможность сравнивать один момент непрерывного изменения с другим; а если есть возможность сравнивать, то есть и возможность судить о направлении изменения. Но что значит различать один момент непрерывности от другого? Это прежде всего значит, что непрерывность везде разная, т.е. что эта непрерывность внутренне прерывна, что она имеет прерывную структуру. Из недр этой непрерывности должна выбиваться наружу, на внешнюю поверхность непрерывного изменения, такая структура, которая бы обеспечила дробление единого непрерывного процесса на любое количество отдельных моментов, определяющих при их взаимном сравнении общую направленность процесса. Эта дробящаяся непрерывность обусловливает собою особую направленность изменения, хотя уже сейчас видно, что и этого еще недостаточно для конструирования категории предела.

4) Должно быть, стало быть, не только становление, изменение и непрерывность, но еще и такое непрерывно-изменчивое становление, которое по своему внутреннему смыслу дано как становление дробящееся.

c) Не может быть только дробности. Чистая прерывность помешала бы понятию предела. Пробивающаяся изнутри дробность, определяя собою прерывные точки общего процесса становления, не может мешать тому, чтобы непрерывность все же продолжала как-то функционировать. Это, мы сказали, прерывность относительная, т.е. она как-то объединяется с непрерывностью.

5) Предел возникает на почве объединения непрерывных и прерывных моментов становления, направленного к пределу; и стоит только удалить один из этих моментов, как предел тут же сразу и уничтожается, – при удалении непрерывности перестает существовать движение и приближение к пределу, и при удалении прерывности исчезает возможность судить о самом наличии этого приближения. В обоих случаях предел перестает быть пределом или перестает функционировать как предел.

4.

a) Можно ли удовлетвориться этим? И этого мало. Непрерывно меняющееся становление, имеющее определенную прерывно-непрерывную структуру, оказывается той или иной комбинацией прерывности и непрерывности. Когда идет речь о пределе, мы, однако, не принимаем во внимание эти прерывные или непрерывные моменты как таковые, хотя им и свойственна определенная структура. Предел – легче и как бы идеальнее всей этой массивной телесности реального становления, т.е. реально построенного числового ряда, или последовательности. Он есть сама комбинация или, вернее, сама скомбинированность этих моментов, а не самые эти моменты, хотя бы и определенным образом скомбинированные. Существует то или иное чередование прерывных и непрерывных моментов становления, и существует определенный порядок этого чередования, определенный план и закон этого чередования. Вот он-то и интересен для конструкции предела, а не сама стихия становления. Этот план или фигурность становления внедрены в самую гущу становления, и в реальной числовой последовательности они неразрывны – этот план и то, что ему подвержено. Однако, в порядке абстрагирования, ничто не мешает эту смысловую фигурность извлечь из самой последовательности и формулировать самостоятельно.

В таком виде, т.е. в виде смысловой закономерности чередования прерывных и непрерывных моментов, становление уже гораздо ближе к пределу, который и надо определить, как 6) структуру, или комбинацию прерывности и непрерывности.

b) Еще один шаг, и мы получаем точное определение предела. Упомянутая структура, или комбинация, вполне имманентна потоку становления. Но она не только имманентна. Имманентизм становлению есть все же некоторая распределенность по этому потоку становления, распростертость в течение потока. Но подобно тому как упомянутая структура прерывностей и непрерывности извлечена из глубины становления и совлечена с него в некую самостоятельную данность, так необходимо из этой самостоятельно данной структуры тоже извлечь ее идею и смысл и не только извлечь, но и совлечь в новую самостоятельную данность. Всякая фигурность содержит ведь свое целое или свою целость в каждой своей точке, так что сама-то по себе эта цельность имеет вполне определенное и самостоятельное значение. Нужна ли для конструкции категории предела та фигурность со всеми подробностями своего строения? Конечно, не нужна. Надо сжать эту структуру до максимальной плотности – так, чтобы она превратилась вместо развернутого вида в одну заряженную смысловую точку, в одно напряженное задание, готовое излиться каждое мгновение вовне и предопределить собою числовую последовательность – любой длительности и протяжения.

Структура непрерывно-прерывного ряда должна исходить из одной напряженной точки, которая не есть уже ни просто прерывность, ни просто непрерывность, но 7) закон и происхождение, рождающее лоно и перво-принцип, осмысливающий собою развитую непрерывно-прерывную структуру становления.

5.

Это, наконец, и есть предел в математическом смысле слова. И из этого анализа вполне выясняется диалектическое место предела. Первый из указанных пунктов, становление, заставляет признать существенную роль категории отрицания, вернее, алогически становящейся отрицательности. Второй пункт, изменение, вносит в становление антитезу внутреннего и внешнего, которая, в соединении с третьим пунктом, непрерывностью, свидетельствует о том, что с категорией отрицания тут ставится в ближайшую связь именно иррациональность. Непрерывная величина, как мы знаем, и есть синтез внутреннего и внешнего в условиях иррациональной текучести этого синтеза. Иррациональность, стало быть, погружена здесь в стихию алогически становящейся отрицательности. Четвертый пункт, внутренняя дробность, свидетельствует об участии в категории предела – второго момента иррациональности (кроме чистого отрицания); и предел оказывается так же заинтересованным во втором диалектическом моменте иррациональности, во внутренней дробности, как и в первом, в чистой отрицательности. Пятый и шестой пункты из вышеупомянутых, т.е. чередование непрерывности с прерывностью и фигурная структура этого чередования, подчеркивают синтетическую природу предела и его категориальную самостоятельность, а седьмой, момент перво-принципности, доказывает, что речь идет об иррациональности в ее смысловом перво-истоке, что предел есть перво-единство алогически и непрерывно становящейся числовой дробности. Отсюда и диалектическая формула предела.

Предел есть тождество внутренней дробности и внешней алогически становящейся отрицательности, данное как таковое в своем исходном перво-принципе.

Или: предел есть иррациональность, данная в своем исходном перво-принципе.

Или еще: предел есть закон (или метод) построения иррациональности, потенциальная закономерность иррациональной стихии.

§ 103.

Продолжение

Если мы пересмотрим основные определения в математике, относящиеся к учению о пределах, то нетрудно будет убедиться, что математика здесь также работает категориями, которые только что были развиты, хотя и формулирует их, конечно, чисто математически, а не диалектически.

1.

Прежде всего стоит обратить внимание на интересное определение точки скученности, или точки сгущения. Для этого нужно знать, что такое окрестность. Если мы имеем некую точку A и имеем некую величину ε, могущую стать меньше любой заданной