Диалектические основы математики - Алексей Федорович Лосев

Кажется, примеры прерывной величины для демонстрации вышеизложенного понятия прерывности излишни. Но все-таки возьмем какую-нибудь прерывную функцию и отметим на ней указанные нами моменты этой категории. Пусть имеется функция tgx; при возрастании x от 0° до 90° тангенс возрастает от 0 до +∞. При дальнейшем увеличении x от 90° до 180° тангенс изменяется от –∞ до 0. В моменте, когда угол равняется 90°, происходит разрыв тангенса и он от +∞ мгновенно переходит к –∞. Имея это в виду, спросим себя: что нужно для осуществления этого разрывного момента и какие категориальные моменты его конструируют? Нужно, во-первых, чтобы речь касалась становления и, во-вторых, не просто становления, но становящегося x. X должен быть переменной величиной. В-третьих, этот α не просто есть переменная величина, но он должен и фактически меняться, причем это изменение есть опять-таки не просто изменение, но изменение, в котором бы целиком воплощалось становление как таковое, т.е. изменение непрерывное. И вот, наконец, когда x непрерывно изменяется от 0 к 90°, мы, наконец, вдруг замечаем это удивительное явление, что данная функция tgx разрывается и лишается своей непрерывности. От чего это зависит? Это зависит исключительно от внутреннего чисто смыслового содержания тангенса, который именно потому, что он – тангенс, производит разрыв в точке 90°. Стало быть, необходимо, в-четвертых, чтобы внешнее непрерывное изменение x получало отдельную структуру от внутренней значимости этого tgx. В данном случае эта внутренняя значимость x действует как tgx и – в определенной точке разрывает протекание x. На этом примере совершенно ясно участие в категории прерывной величины таких моментов, как становление, изменение, непрерывность, внутреннее и внешнее и синтез внутреннего и внешнего.

Между прочим, на этом примере с тангенсом прекрасно видно то диалектическое понимание дробности, которое мы употребляем здесь и употребляли раньше. Дробность у нас не есть просто арифметическое понятие. Дробность есть целость, данная в своем инобытии так, что имеется только это инобытие целости, а не сама целость. В этом смысле тангенс есть дробящая и дробящаяся стихия, потому что ее внешний результат приводит к разрыву и дроблению цельного, структуры становления.

§ 102.

Предел

1.

Если мы рассмотрели первый момент иррационального числа (становящуюся отрицательность) в свете самого иррационального числа (и получили три особые категории – постоянной, переменной и непрерывной величины),

если мы, далее, рассмотрели второй момент иррациональности (внутреннюю дробность) в свете самой иррациональности (и получили еще новую категорию – прерывной величины),

– то теперь необходимо рассмотреть само иррациональное число (как синтез внешней алогически становящейся иррациональности и внутренней дробности) в свете самой же иррациональности.

Что значит рассмотреть иррациональность в свете самой иррациональности, т.е. рассмотреть ее как таковую, в ее существе, в ее первоначальном и чистейшем существе? Это значит рассмотреть самый исток иррациональности, определить ее исходную сущность, найти самый ее перво-принцип. Иначе можно сказать так. Поскольку эта новая структура есть синтез, она должна быть границей для первого момента, для тезиса триады. Граница должна дать первоначальное очертание сущности, определить ее смысловую природу, ясно отличить ее от всего, что не является ею. Найти перво-принцип – это и значит уметь провести границу или быть в состоянии сказать нечто, отличивши это нечто от всего прочего. Так вот и возникает вопрос: где же нам искать самый перво-принцип иррациональности и, стало быть, где же находится смысловая граница, определяющая эту иррациональную сущность и дающая ее определенную и специфическую значимость? Где эта смысловая законченность иррациональности и как называется этот новый синтез внутренней дробности и внешней алогически становящейся иррациональности, синтез, уже освобожденный от самой иррациональной текучести и являющийся лишь ее первопринципом, ее внутренней закономерностью и исходным первоначалом?

Этот перво-принцип и эта внутренняя закономерность иррациональности есть предел, вернее, то, что в математике называется пределом.

2.

Эта фундаментальнейшая категория всей математики требует четкого разъяснения, и тут диалектика должна показать всю свою силу и основательность. Иррациональность имеет свой первоисток в пределе. Предел – внутренний исходный перво-принцип иррациональности. Чтобы усвоить это учение об иррациональности, надо произвести ряд отграничений.

a) Предел не есть просто голая и абстрактная идея числа, изолированно пребывающая сама в себе. Если взять ряд, члены которого образованы по типу n/(n+1), т.е., полагая n = 1, 2, 3 …, взять ряд, 1/2, 2/3, 3/4 и т.д., то на основании

an = 1 – 1/(n + 1)

легко видеть, что пределом этого ряда является 1. Равным образом, если взять ряд

an = 1 – n/2n,

то при возрастании n до бесконечности мы получаем в качестве предела 0. Эта единица и этот нуль, являющиеся пределами двух последовательностей, сами по себе взятые, отнюдь не есть пределы. Смысл единицы есть просто единица, и ни о каком пределе тут нет ровно никакой речи. Так же и относительно нуля. Пределом 0, 1 и всякое другое число становится не само по себе, не в силу своей чисто абстрактной значимости, но исключительно лишь в силу того, что оно является некоей притягивающей силой для других величин, т.е. в силу того, что оно перестает быть изолированным и голым числом, но заряжается некоей числовой заданностью и как бы издали привлекает к себе целую бесконечность определенным образом расположенных величин. Так, в первом примере единица, являясь пределом последовательности, тянет к себе эту последовательность, притягивает к себе наподобие некоего магнита целую массу каких-то своеобразных математических точек. И об этом мы знаем не просто из числового значения единицы (не имеющего, понятно, никакого отношения к последовательности или пределу), но из характера той смысловой сферы, в которую погружена эта единица. Значит, в определение предела мы обязаны внести момент закономерности протекания последовательности, постепенно осуществляемой по мере дальнейшего распространения этого протекания. Предел есть всегда та или иная размерность, расположенность и упорядоченность процесса, динамический смысл и закономерность построения последовательности. Предел не есть просто ординарное голое число или величина, но он есть смысловой первоисток числового становления. Отсюда начинает становиться понятным, что предел есть в некотором роде иррациональность, рассмотренная как иррациональность же, т.е. он есть иррациональное становление – с точки зрения не просто своего протекания и текучести, но с точки зрения смысловой закономерности этого становления. Это есть сомкнутая и неразвернутая закономерность числового становления, смысловая заряженность этого становления, методический его перво-принцип – и чистая возможность.

Но точно так же