Диалектические основы математики - Алексей Федорович Лосев

войти в непрерывность, которая и есть такое изменение, что изменяющееся остается постоянным, и такое постоянство, что постоянное пребывает в измененном. Непрерывность без изменения есть только абстрактное и неподвижное тождество разных теоретически установленных смысловых моментов; в ней нет никакого движения, так что неизвестно, как же происходит переход от одного момента к другому в случае, именуемом как непрерывное движение. Непрерывность без постоянства есть чисто алогическая стихия, в которой становится неизвестно что и в которой нет никакого расчленения, так что неизвестно, чтó же именно непрерывно. В обоих случаях непрерывность вполне перестает быть непрерывностью и становится прерывностью. Итак, непрерывность есть безусловное тождество постоянства и изменения.

b) Мало этого. Можно ли непрерывность назвать только безусловным тождеством постоянства и изменчивости? Такое определение и наименование было бы совершенно правильным, если бы всегда отдавался точный отчет в употреблении терминов «постоянство» и «изменчивость». Обычно не обращают внимание на то, что оба эти понятия указывают не на плоскостную, но рельефную, а именно трехсоставную, структуру. Постоянным и переменным может быть только то, в чем есть противоположность внутреннего и внешнего и в чем эта противоположность определенным образом уравновешена. Как мы уже видели, переменно то, что, во-первых, есть нечто само по себе, – скажем, число, – а во-вторых, принимает разные внешние значения, – скажем, количественные размеры. Тогда, зная, что эти значения здесь наличны фактически или потенциально, мы именуем данную величину переменной. Раз переменная и постоянная величины вошли в непрерывную величину, то тем самым в последнюю вошла и уравновешенная антитеза внутреннего и внешнего. Непрерывно то, в чем внутреннее и внешнее так совпали в единое нерушимое тождество, что уже нельзя сказать об этом тождестве, постоянно ли оно или переменно, и необходимо говорить, что оно в одинаковой мере и постоянно, и переменно.

Что было бы, если бы имелось только одно тождество постоянства и изменчивости, и в это тождество не вносилась бы антитеза внутреннего и внешнего, и понятия постоянства и изменчивости обладали бы чисто плоскостным характером, не указывая ни на что внутреннее и внешнее? В этом случае мы имели [бы] голое и пустое становление, которое хотя и мыслится вначале как непрерывное, но не есть сама непрерывность, ибо может быть и прерывным. Становление плоскостно, поскольку в нем совершенно не ставится вопроса о характере становления. Оно, взятое само по себе, не структурно, ибо оно – лишь первый результат синтеза бытия и небытия; и та реальность, которая ему свойственна (а реальность тут не может не быть, поскольку тут тоже налична трехсоставность бытия, небытия и самого становления), совсем не та, которая давала бы структуру уже готовому становлению. Становление, взятое без антитезы внутреннего и внешнего, есть только принцип, в то время как непрерывность есть уже приложение этого принципа. Становление не структурно как становление; непрерывность же есть определенное структурное оформление самого становления. В становлении поставлен вопрос: перешло ли бытие в небытие или нет? И разрешен положительно: да, бытие здесь перешло в небытие и синтезировалось с ним. Совсем другой вопрос стоит в сфере непрерывности. Если бы здесь стоял такой вопрос, то в сфере непрерывности шла бы речь о том, стоит ли на месте данная вещь или развивается. Но разве этим мы интересуемся, когда говорим о непрерывности? Тут вовсе дело не в том, движется ли данная вещь или покоится. Этого очень мало для понятия непрерывности. Дело здесь в том, что вещь уже пребывает в становлении, что становление здесь уже сформировано и не прекращается ни при каких условиях, и только говорится о том, какое же именно тут становление, какова структура этого становления. Именно, в сфере непрерывности ставится такой вопрос: если мы будем придавать становящейся величине то или иное значение, то будет ли эта становящаяся величина функционировать по-старому или нет? Становление уже налично, уже действует, и спрашивается: всегда ли одинаково оно будет действовать, если оно будет действовать в том или ином направлении, или же это направление действия оказывает влияние на самое действие? И когда имеется в виду непрерывность, ответ гласит: никакое направление становления, т.е. никакое оформление его в количественные отношения, не действует на становление как на становление, и последнее остается самим собою в течение всего своего протекания через разные количественные значения. Тут ясно происхождение антитезы внутреннего и внешнего. Как в переменной величине наличны, во-первых, сама числовая структура, а во-вторых, ее количественные значения, так в непрерывной величине наличны, во-первых, становящаяся числовая структура, а во-вторых, те или иные ее количественные значения. Как в случае с переменной величиной мы устанавливаем подвижность ее количественных значений при неподвижности внутреннего остова, носителя этих значений (например, в формуле пути S падающего в пустоте тела в зависимости от времени t, S = ½g0t2, где g0 = 981 см/сек2, мы имеем переменные величины S и t при неподвижности самой формулы для g0), так и в случае с непрерывной величиной мы устанавливаем непрерывность ее количественных значений при неподвижности и прерывности внутреннего остова, носящего на себе эти непрерывно становящиеся значения, т.е. при неподвижности самого принципа становления, в которое погружена данная величина. Упомянутая формула для пути падающего тела – и в случае толкования величин как переменных, и в случае толкования их как непрерывных – одинаково предполагает один основной и первоначальный факт, а именно, что тело падает. И только этот общий для обоих случаев и внутренний для своей внешней значимости факт по-разному проявлен вовне. Когда мы говорим о непрерывной величине, то точки применения к ней той или иной количественной значимости настолько близки одна другой, что они уже готовы слиться и фактически сливаются. В этом и заключается вся особенность непрерывности, а противоположность (уравновешенная) внутреннего и внешнего равно в той же мере свойственна непрерывной величине, как и просто переменной.

5.

Если мы вспомним те рассуждения, которые обычно сопровождают в математике тему о непрерывных величинах и функциях, то легко убедиться, что эти рассуждения возможны только на основе развитого здесь диалектического учения.

Элементарное определение непрерывной величины сводится в математике к тому, что разница между двумя значениями данной величины может стать меньше любой заданной величины. Если данная величина именно такова, что к любой точке ее становления применимо условие исчезающе малого расстояния ее от соседней точки, то эта величина – непрерывна.

Уже тут выясняется необходимость вводить в понятие непрерывности как тождество постоянного и переменного, так и тождество внутреннего и внешнего. Первое тождество образует собою всю стихию алогического становления, без которого не могло