Диалектические основы математики - Алексей Федорович Лосев

потому, что оно здесь дано в адекватном внешнем выражении (равно как и адекватность выражения здесь дана не сама по себе, а потому, что это есть выражение целого и оформленно-четкого, едино-раздельного). Точно так же – целостным внутреннее числовое содержание никак не может остаться в иррациональном числе, и это только по одному тому, что здесь мыслится невозможность адекватного внешнего выражения. Нельзя тезис и антитезис в диалектической триаде понимать так, что тезис остается сам по себе, а антитезис – сам по себе. В синтезе дано настолько интимное взаимопроникновение того и другого, что оба они получают в его свете совершенно новое содержание и совершенно несводимы на свою старую смысловую сущность. В иррациональном числе внутреннее числовое содержание никак не может остаться целостным и внешняя числовая выраженность никак не может остаться голым, изолированным полаганием факта. Тем самым [выходит], что иррациональное число занимает новое место в системе, т.е. является не рациональным числом, а его антитезисом, тем самым получается необходимость и для тезиса с антитезисом, из которых образовалось рациональное число как синтез, превратиться в новые категории, противоположные старым в той же мере, в какой иррациональное число противоположно рациональному.

Вот тут-то и выясняется необходимость второго подхода к анализу иррационального числа, т.е. необходимость привлечения категорий отрицания и дробности, являющихся как раз противоположностью старых категорий полагания и целости. Ведь та новая триада, которую мы сейчас анализируем, – рациональное, иррациональное, мнимое – вся целиком есть синтез внутреннего числового и внешневыраженного числового содержания, так что и рациональное есть синтез и тождество внутреннего и внешнего, и иррациональное есть синтез и тождество внутреннего и внешнего, и так же – мнимое. Но рациональное есть тезис этого тождества, иррациональное – антитезис, а мнимое, как увидим дальше, окажется синтезом этого тождества внутреннего и внешнего. И эта разница положения в диалектической системе обусловливает собою и различие тех смысловых предпосылок, из которых вытекают эти три вида синтезов. Когда мы переходим к иррациональности, то сталкиваемся уже не с полаганием и целостью, т.е. не с целостным полаганием, или полаганием целости, но с отрицанием дробного свойства (или с дробным отрицанием бытия). Формулируем же это диалектическое обстояние подробнее.

2.

Итак, иррациональное число возникает как синтез отрицания и дробности. С первого взгляда этот синтез имеет весьма странный вид, но это потому, что обе эти категории, «отрицание» и «дробность», обычно понимают слишком арифметично, т.е. слишком счетно и количественно, не учитывая всей полноты их диалектической и просто логической значимости. «Отрицание» только в соединении с простым арифметическим числом получает свою обычную вычислительную значимость; само же по себе оно гораздо шире по смыслу, и этот широкий смысл и надо иметь в виду в наших рассуждениях. Отрицание, как мы видели, есть переход от утверждения в сферу, где этого утверждения нет, но где дано оно только категориально, в становящемся виде; оно тут только стремится быть утверждением, но не может им стать. Оно как бы вот-вот станет утверждением, но никогда не может им стать фактически. Мы уже видели, анализируя категорию отрицательного числа, что отрицание здесь нельзя понимать в абсолютном смысле; оно может стать в каждое мгновение утверждением, и потому оно тут – относительное отрицание. Лучше всего проявляется чистое отрицание в процессе становления. Когда вещь A дана в процессе становления, то каждое мгновение этого становления есть новое и небывалое в сравнении с предыдущим мгновением, оно есть его инобытие, и это иное и новое нарастает каждое мгновение, каждый момент. Поэтому каждый момент тут есть отрицание другого, предыдущего; и все моменты, вместе взятые, т.е. все становление вещи целиком, в некотором смысле вся вещь целиком, есть сплошное отрицание и каждого отдельного момента, и всей вещи целиком, проходящей через эти моменты. Чистое становление, которое мы потому и называем алогическим становлением, и есть наиболее отчетливая форма диалектического отрицания. Возьмем эту наиболее отчетливую форму отрицания и запомним ее внутреннюю сущность. Нашим тезисом, который войдет в иррациональность, будет именно чистое отрицание, чисто алогическое становление, когда нет никакого и нигде устойчивого состояния и когда все неизменно и сплошно течет, без всяких задержек и без всякой раздельности. Если припомним, то именно такое чистое отрицание, прибавленное к чистому и абсолютному числу, превращало его в отрицательное число.

Теперь посмотрим, что вносит в изучаемый нами иррациональный синтез вторая категория – категория дробности. Дробность тоже нельзя понимать чисто счетно и количественно. Будем все время помнить, что мы занимаемся здесь не математикой, но философией математики и нас интересуют здесь не математические операции сами по себе, но их смысл, их трансцедентальная значимость. Последняя всегда сложнее, необычнее, часто удивляет своим оригинальным характером, в то время как сама-то вещь, значимости которой мы доискиваемся, проста, вполне понятна и даже обыденна. Также и в отношении дробности соблюдем нашу обычную позицию смысловой диалектики и не будем соблазняться банальностью и общепонятностью самого факта, который здесь осмысливается. Дробно то, что имеет какое-нибудь внутреннее содержание, не может быть дробным то, что не имеет ничего внутреннего. Кроме того, это внутреннее должно быть здесь противопоставлено самому себе, т.е. оно само должно перейти в инобытие и получить в связи раздельность. Это мы уже хорошо знаем из анализа категории отрицательного числа. Такая характеристика дробности с безусловной необходимостью входит в иррациональность. Но прежде чем ввести эту дробность непосредственно в категорию иррационального числа, необходимо отчетливо представить себе взаимоотношение «отрицания» и «дробности».

Это взаимоотношение, поскольку дробность представлена у нас как антитезис отрицания, сводится к тому, что дробность есть раскрытие отрицания, выявление его внутренней сущности. Когда мы говорим о чистом отрицании и не вводим в него никаких посторонних моментов, оно является только голым принципом, внутренно не раскрытым и утвержденным в своей голой принципиальности. И пока это так, мы имеем только чистое становление, т.е. становление неизвестно чего и неизвестно какое; это становление тут ничем не заполнено, и неизвестно его направление. Но вот оно приходит в свое инобытие. Из голого факта отрицания оно превращается в раздельный, расчлененный факт становления; становление получает внутреннее содержание; в нем возникают точки, уже отличные одна от другой, и определенная связь между этими точками; становление превращается в едино-раздельную структуру и, следовательно, раскрывается, расцветает. И это-то и значит, что отрицание перешло в дробность. Голое отрицание было только некоей алогической силой; дробность же есть уже результат этой силы; алогическая сила становления пробила собою цельные и устойчивые стены смысла, и это привело к дроблению стен, привело к дробности. Так дробность, будучи антитезой отрицания, раскрывает это