Диалектические основы математики - Алексей Федорович Лосев

Итак: иррациональное число есть тождество внутреннего и внешнего инобытия числа, когда первое взято на стадии дробности, а второе – на стадии алогически становящейся отрицательности.

Или короче: иррациональное число есть тождество внутренней дробности и внешней алогически становящейся отрицательности.

5.

В особенности ясна природа иррациональности, если ее применить геометрически.

Возьмем прямоугольный треугольник, у которого оба катета содержат, например, по 1 единице измерения. Если один катет =1 см и другой – тоже 1 см, то, по теореме Пифагора, гипотенуза должна равняться √2. Хотя это есть число иррациональное, но тем не менее гипотенуза – нечто вполне реальное; это самая обыкновенная линия, которую можно измерить как угодно точно, и только вся особенность ее в этом отношении заключается в том, что длина ее несоизмерима с длиной катета.

Возьмем квадрат и в нем диагональ. Диагональ квадрата, выраженная через сторону, равняется стороне, умноженной на √2. Опять тут иррациональная величина вполне реальной геометрической линии.

Возьмем квадрат, вписанный в круг. Если считать радиус круга за единицу, то расстояние от центра круга до точки пересечения, например, вертикальной стороны квадрата с горизонтальным диаметром будет равняться 1/√2; и, таким образом, на одной и той же линии окажется и отрезок, равный радиусу круга, т.е., по условию, единице, и отрезок, равный 1/√2.

На одной и той же линии помещаются и рациональные, и иррациональные точки.

Все эти примеры, которых можно приводить сколько угодно, при всей своей элементарной простоте вскрывают весьма глубокое и в сущности весьма таинственное явление – совмещение рациональности и иррациональности на одной и той же прямой линии. Что это значит и как это возможно? Очевидно, иррациональных точек может быть здесь сколько угодно, равно как и рациональных. Расположены те и другие на одной и той же линии одинаково густо, и они в полном смысле перекрывают одни других. Объяснить эту таинственную структуру иррациональной величины можно только на основе вышепроизведенного диалектического исследования.

А именно, это взаимное перекрытие рациональных и иррациональных точек на одной и той же линии показывает прежде всего, что мы имеем здесь дело не с отдельными изолированными полаганиями и утвержденностями, но с алогически отплывающей бездной бесконечного количества становящихся точек. Тут все как бы слито в одном нерасчлененном потоке становящейся линии; и как бы мы его ни измеряли, т.е. какие бы конечные и изолированные единицы меры мы к нему ни применяли, он все равно остается неизмеренным и, стало быть, неизмеримым. Но во-вторых, так же ясно, что эта непрерывная текучесть пронизывается вполне определенными сечениями, отдельными от тех сечений, которые произведены со стороны рационально размеренных количеств. Ясно, таким образом, что есть сама линия, есть ее перекрытие новым слоем, создающим ее алогически становящуюся отрицательность, и есть сечение этой отрицательности – мерами, цельными друг в отношении друга, и мерами, дробными друг в отношении друга. Когда алогическое становление рассекается дробными мерами, то последние в условиях становления превращаются в те или иные дробящиеся структуры. И следовательно, поскольку внешняя алогическая перекрытость линии действует во всем этом диалектическом обстоянии на первом плане, настолько внутренне, изнутри определяющая дробная структура выступает тоже на первый план, внедряясь во внешний алогический поток в виде тех или иных вполне реальных дробящихся структур.

Это и есть иррациональность.

§ 101.

Постоянная, переменная, непрерывная и прерывная величина

1.

a) Можно еще продолжить характеристику иррационального числа, пользуясь также одним из приемов общей диалектики. Прием этот заключается в том, что, получивши синтез, вновь начинают рассматривать тезис и антитезис, но уже в свете полученного синтеза; также и самый синтез в свете синтеза получает иную характеристику, детализирующую то, что было выведено раньше. Такой метод есть не что иное, как углубление и детализация полученного синтеза, что можно было бы достигнуть и без этого педантического приема, а просто путем более подробного раскрытия полученного синтеза. Но педантизма тут нечего бояться, так как порядок и система, вносимые им в хаос математических представлений, никогда не могут быть вредными. Раз есть A и есть B и они тождественны с C, то это возможно только тогда, когда и A, и B, и само C могут быть представлены в свете полученного C и когда станет ясным, что же, собственно, случилось с A и B, когда они вступили в общее тождество и слились до неразличимости в C. Этот прием вносит весьма интересную детализацию изучаемого синтеза: отрицание – дробность – иррациональность; и мы получаем тут ряд очень важных и ходовых понятий математики.

b) Итак, что такое отрицание в свете иррациональности? Так поставленный, вопрос этот звучит не совсем понятно и требует разъяснений. Еще и еще раз вспомним, как диалектика понимает отрицание. Чистое отрицание есть становление, алогическое становление. Когда это становление было отождествлено с абсолютным числом, оно само абсолютизировалось и как бы остановилось, замерло на месте, превратившись в то, что математика называет отрицательным числом; но сейчас мы не связаны абсолютным числом, а берем отрицание само по себе, т.е. берем его как чистое алогическое становление. Во что оно превращается, если мы его станем рассматривать в свете иррациональности? Другими словами, что нужно сделать с чистой отрицательностью алогического становления, чтобы получить из него иррациональность? Собственно говоря, алогическое становление уже само по себе есть нечто иррациональное, хотя еще и не есть иррациональное число. Иррационально оно потому, что оно внутренно нерасчленимо, сплошно, да и само название «алогическое», употребляемое нами все время, есть то же, что и «иррациональное», хотя, повторяем, это еще не значит, что отрицательно данное становление тем самым есть уже иррациональное число. Однако если чистая отрицательность становления есть нечто иррациональное, то вопрос о ней как о данной в свете иррационального может быть только вопросом о том, что делается с отрицанием, если внести в него именно момент числа, момент устойчивой числовой структуры, какую мы нашли в иррациональном числе. Чтобы не сбиться с ясного диалектического пути, будем твердо помнить, что это не может быть внесением в отрицательность структуры абсолютного числа, что мы уже имели в случае с отрицательным числом. Когда мы берем чистую отрицательность и объединяем ее с абсолютным числом, мы, как надо помнить, получаем отрицательное число. И сейчас речь не об этом. Мы вносим в чистую отрицательность момент не абсолютного числа, т.е. момент не того числа, о котором нельзя сказать ни того, что оно положительное или отрицательное,