Диалектические основы математики - Алексей Федорович Лосев

отдельной части. Конкретно говоря, вхождение в изучаемый синтез категории целого числа обусловливает собою применение здесь таких арифметических действий, которые приводили бы или просто к целым числам, или к таким дробным, которые состояли бы из целого количества целых же частей числа. Обычно это выражается так, что рациональное число определяют как число, образованное путем четырех арифметических действий и возвышения в степень. Конечно, рациональным числом будет и то, которое получено путем извлечения корня, но только требуется, чтобы этот корень тут действительно извлекался. Общая идея, стало быть, здесь та, чтобы соблюдался именно принцип целости – как вообще (в случае целых чисел), так и в развитом виде, когда образуются целые части и этих частей берется целое же количество (результат деления и извлечения корня). Если внешняя положенность внесла в рациональное число составленность его из единицы, то внутренняя целость, входящая в синтез для порождения рационального числа, вносит сюда определенный метод этого составления из единицы, а именно – те арифметические действия, которые базированы на категории целости. Можно и просто вместе с математиками сказать, что рациональное число есть то, которое составлено из единицы путем сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в степень, и только надо понимать, из каких логических предпосылок вытекает самая возможность такой синтетической категории. Предпосылки эти – участие «положительности» и «целости».

4.

Аналогия с измерением является основанием для усвоения всей диалектической сущности рационального числа. Если мы соблюдаем ту простую картину, которую представляет собою всякое измерение, и не исказим этого житейски очевидного явления различными теоретическими привнесениями, то это даст нам ключ и к пониманию диалектики рационального числа. Что мы делаем, когда что-нибудь измеряем?

Во-первых, мы уже знаем или должны предварительно знать то, чем мы производим измерение. Пусть это будет метр, аршин, верста, но мы должны знать, чем же мы, собственно, мерим, должны знать принимаемую нами единицу измерения.

Затем, во-вторых, если измерение действительно происходит, мы должны эту единицу применить к измеряемому, уложивши ее в этом последнем так, чтобы она, повторенная известное число раз, заполнила все протяжение измеряемого.

И наконец, в-третьих, измерение только тогда осуществляется, когда получен ответ, сколько же раз наша единица поместилась в измеряемом.

Этот простой факт измерения, стало быть, требует,

1) чтобы было известное число полаганий,

2) чтобы полагания эти исчерпывали внутреннее протяжение измеряемого и

3) чтобы было известно, как именно это исчерпание происходило.

Точно такая же картина, и житейски очевидная, и диалектически синтетическая, предстоит нам и в рациональном числе. Рациональное число – то, которое измерено единицей и которое выявило свое внутреннее содержание (в числе оно всегда прежде всего чисто количественное) в виде ряда действий с этой единицей. Рациональное число – четкая картина той или иной комбинации единицы. И три смысловых слоя – внутренняя целость, внешняя единичная положенность и тождество того и другого в виде измеренного числа, в виде соизмеримости его с единицей, – эти три слоя с полной очевидностью и непреложностью входят в самую сущность рационального числа.

5.

Отсюда точная диалектическая формула этой категории гласит следующее: рациональное число есть тождество внутреннего и внешнего инобытия числа, когда первое взято на стадии целости, а второе – на стадии положительной утвержденности.

Или короче: рациональное число есть тождество внутренней целости и внешней положительной утвержденности.

§ 100.

b) Иррациональное число

Усвоивши эту простую структуру рационального числа, нетрудно перейти и к тому типу числа, который доставил немало затруднений для своей формулировки, хотя чисто количественно и счетно он, конечно, понятен так же, как и вообще всякий другой тип числа. Мы имеем в виду иррациональное число. После вышеприведенных рассуждений ему можно предоставить только вполне определенное место в диалектической системе.

1.

К раскрытию понятия иррационального числа можно подойти, согласно намеченному выше плану исследования, двояко: во-первых, со стороны категории рационального числа и, во-вторых, со стороны категорий отрицательного и дробного числа. Разумеется, на самом деле это есть один и тот же – диалектический – подход и различие здесь между двумя точками зрения только внешнее, вытекающее просто из необходимости распределять один и тот же материал по разным признакам. Однако эти два подхода, как сказано, вполне уместно различать.

Что такое иррациональное число в сравнении с рациональным? Оно есть его антитезис. И раз это так, то тем самым рисуется уже совершенно специфическая характеристика иррационального числа, поскольку всякий вообще антитезис по одному только тому, что он антитезис, уже есть вполне специфическая диалектическая структура. Так как антитезис есть инобытие, то иррациональное число есть инобытие рационального, переход его в свою противоположность. Переход же в инобытие может осуществиться только тогда, когда уничтожится основная сущность рационального числа, а именно взаимная соизмеримость внутреннего содержания числа и его внешнего инобытия. В иррациональном числе уничтожена эта соизмеримость, и внутреннее числовое содержание никогда не может здесь целиком выразиться вовне. Все, что мы сказали выше об этом соответствии внутреннего и внешнего, здесь вполне перестает существовать; внешнее бессильно изнемогает в попытках выразить внутреннюю сущность. Внутренняя сущность не может целиком вылиться вовне, и всегда остается тут нечто невыраженное и невыразимое, что бы мы ни предпринимали в целях этого выражения.

Ясно, что тем самым ни внутренняя сущность числа, ни его внешнее выражение уже не могут быть теми же самыми, что и в рациональном числе. Что бы ни выражало рациональное число, его внутреннее содержание всегда будет чем-то целым, так как иначе не осуществится сама рациональность, которая является здесь целью. Рациональность есть всегда сведенность начал и концов, законченность, закругленность, обозримость, осязаемая структурность и раздельная полнота. Все это возможно, когда самая сущность выражаемого целостна и, так сказать, способна, в смысловом отношении способна породить из себя целостные и законченные формы. С другой стороны, какими бы средствами ни выражалось рациональное число, оно всегда выражается первыми пятью действиями над единицей, так как иначе здесь исключался бы принцип твердой положенности и утвержденности рационального числа. Совсем другую картину мы находим в случае с иррациональным числом. Дело в том, что в диалектике каждая смысловая структура получает совершенно разный смысл в зависимости от того, какое место занимает эта структура в общей системе. Нельзя, например, сказать, что внутреннее содержание числа, которое берется в целях внешнего выражения, является в случае рационального числа само по себе целым, а в случае иррационального числа оно, оставаясь само по себе целым, лишается возможности быть выраженным. Так говорить и так понимать диалектику – совершенно неправильно. Целостно внутреннее содержание в рациональном числе не само по себе, но