Диалектические основы математики - Алексей Федорович Лосев

Теперь мы сделаем все, чтобы быть в состоянии формулировать зарождение иррационального числа из недр антиномии отрицания и дробности.

3.

Что получится при соединении стихии отрицания и стихии дробления? Отрицание есть в своем чистейшем виде становление, алогическое становление. Оно призвано выражать вовне внутреннюю сущность числа. Не раздельные акты четкого полагания есть метод внешнего выражения (как в случае с рациональным числом), но именно нерасчленимая и безразличная, сплошная тяжесть алогического становления. Стало быть, иррациональное число, куда отрицание должно войти как один из двух необходимых порождающих моментов, во внешнем отношении есть прежде всего нечто становящееся, т.е. нечто, не выразимое никаким раздельным, расчлененным, конечным числом. Иррациональное число есть такое, когда никакие усилия арифметических действий не могут превратить единицу в ту или иную структуру, аналогичную данной иррациональности.

Иррациональное число внешне есть всегда алогическое становление, т.е. оно всегда процесс, имеющий целью нечто выразить, но никогда не могущий выразить его адекватно.

Иррациональное число поэтому требует бесконечное количество внешних актов счисления, чтобы адекватно выразиться вовне; и так как это количество практически никогда не выполнимо и не достижимо, то иррациональное число никогда и не имеет законченной внешней формы. Оно – всегда процесс, всегда становление, и притом алогическое становление (поскольку для него нет никаких фактически достижимых пределов и границ). Пусть мы имеем иррациональное число √2. Сколько бы знаков мы ни получили при извлечении этого корня и с какой бы точностью мы его ни вычисляли, мы никогда не получим точного выражения для этого корня, ибо корень этот не есть четкий, пребывающий в покое числовой факт, но всегда – только процесс и алогическое становление. Вычисливши его с точностью до 1/1.000.000, мы получим число 1,414214, каковое, конечно, совсем не выражает заданного корня в точности, почему мы и ставим обычно после всякого такого извлечения корня многоточие, выражая этим идею бесконечного процесса, через который должно быть выражено иррациональное число.

Но и рациональное число есть не только чистое отрицание, или алогическое становление, но оно есть еще и дробность. Дробность переносит центр тяжести на внутреннее содержание числа и дает характеристику того внутреннего в числе, что именно должно быть выражено при помощи бесконечного алогического процесса. В чем же заключается внутренняя сущность иррациональности, если внешне последняя есть бесконечное алогическое становление?

Эта внутренняя сущность может являться только частично. Другое дело – в случае с рациональным числом. Там внутреннее целиком проявлено во внешнем, и в нем уже не остается ровно ничего, что было бы не проявлено. В иррациональном же числе всегда остается нечто невыявленное и невыраженное, а при ближайшем рассмотрении оно оказывается даже и совсем невыразимым, недостаточным для адекватного выражения. Однако нечто здесь все-таки выражается. И не только нечто здесь выражается, но это выражение может простираться как угодно далеко, и внутренняя сущность числа может быть выражена с любой точностью, хотя и не с абсолютной. Если бы речь шла не о числе, а о какой-нибудь вещи, то невыразимая тайна ее обладала бы предметным характером и говорила бы о каких-то неведомых еще судьбах данной вещи. Но математика оперирует только с числом, и поэтому невыразимое имеет здесь исключительно числовой характер. В математике мы не можем назвать невыразимую стихию числа каким-нибудь собственным именем, ибо этого имени здесь нет. Мы можем здесь только чисто формально сказать, что выражаемое в иррациональном числе не выражает всей его внутренней сущности целиком и что она является здесь только отчасти, только частично, что она должна дробиться, чтобы быть выявленной. Вот почему, математически рассуждая о внутреннем содержании иррационального числа, можно сказать только то, что оно дробно, что оно есть дробность, а не целость и что только так понимаемое внутреннее содержание числа и может находиться в диалектическом синтезе с алогическим становлением. Будем помнить, что иррациональное число, как и рациональное, тоже есть синтез внутреннего и внешнего в числе, но что этот синтез должен говорить о невыразимом и невыражаемом в числе, т.е. о частичном выражении. Это и побуждает диалектика считать дробность тем внутренним, которое внешне выражено как иррациональное число.

4.

Эта последняя мысль требует специальной фиксации. В иррациональном синтезе точно так же мы находим тождество внутреннего и внешнего, как и в рациональном. И не в том разница с рациональным числом, что в последнем налично это тождество, а в иррациональном его нет. В иррациональном числе это тождество вполне присутствует с той же силой, что и в рациональном числе. Но тут – совершенно иной тип тождества, оно – другое по своему смыслу, хотя формально-диалектически оно – ровно такое же тождество, что и в рациональном числе. Смысл же этого нового тождества заключается в том, что оно есть инобытие первого тождества, что первое тождество переходит здесь в свою противоположность и тем раскрывает свое внутреннее содержание. Поэтому и диалектические элементы, из которых рождается это новое тождество, иные, чем раньше, а именно противоположные тем; и поэтому нам пришлось говорить именно об отрицании, а не об утверждении и о дробности, а не о целости. Отрицание и дробность слиты здесь так же крепко и столь же интимно и неразрушимо в синтетическое тождество, как и полагание слито в синтез с целым числом в случае рациональности.

Когда говорится о невыразимости внутреннего, то, во-первых, эта невыразимость не утверждается здесь абсолютно, так что по крайней мере в некоторых отношениях тут необходимо устанавливать полное тождество внутреннего и внешнего. Однако если бы даже невыразимое принималось здесь в абсолютном смысле, то с диалектической точки зрения и в этом случае устанавливалось бы некое тождество между внутренним и внешним, так как только в дуалистической метафизике признается полная разорванность внутреннего и внешнего, что совершенно не выдерживает никакой диалектической критики. Когда мы говорим, что вещь невыразима, то этим самым мы нечто о ней все-таки выражаем; и, значит, она как-то, хотя бы и очень мало, выразима; и о ней нечто, хотя бы и очень незначительное, все же можно сказать. Но раз о вещи можно утвердить хотя бы некое малейшее смысловое качество, то отсюда выводимы решительно все диалектические категории. И поэтому, строго говоря, с диалектической точки зрения не может быть никакой вещи, абсолютно непознаваемой; и, значит, хотя бы в некотором отношении всегда можно установить то или иное тождество между невыразимым и выражаемым в вещи. Итак, внешнее отрицание и внутренняя дробность вполне тождественны в рациональном числе; и это тождество внутреннего и внешнего как раз и показывает здесь, что внутреннее