Диалектические основы математики - Алексей Федорович Лосев

комбинациям по форме своего объединения. Иначе не будет и десятки. Десятка – это то, что можно превратить и в 9, и в 11, и в любое число, любого вида и любой величины. Вот это-то и значит, что число есть смысловая энергия акта полагания.

Супра-акт сам по себе не создает числа; полагание акта, равно как и отрицание его, также не создает числа; то же и становление, как и ставшее. Но, вступая в диалектическое взаимоотношение, все эти моменты создают именно число, потому что только в их всецелой объединенности заключается настоящая жизнь числа. Супра-акт осуществляется, полагает себя, окружаясь инобытием, от которого он себя отличает, – тут еще нет числа. Но вот, отличивши себя от инобытия, от своего отрицания, он отождествляется с ним, вступает в единое и цельное самотождество как в некую смысловую эманацию жизни, – и здесь зарождается наконец число.

§ 22.

Аналогии

Всегда полезны аналогии, если учитывается различие тех областей, которые рассматриваются как аналогичные.

Пусть мы имеем чистый лист бумаги. Пока на нем ничего не «положено», т.е. ничего не начерчено, нет на нем и вообще ничего. Есть только ничем не обозначенное белое поле. Пусть теперь мы начинаем что-нибудь чертить на этом листе. Начертить какую-нибудь фигуру – это значит провести ее границы. Проведя границы, напр., круга, мы получаем нечто, имеющее уже определенную величину. Покамест нет точных границ круга, круг вообще не существует, не говоря уже об его размерах. Но как только начерчена окружность, появляется и сам круг, и появляется он как некая величина. Другими словами, с появлением границы впервые появляется возможность деления, дробления. Если теперь мы отвлечемся от той фигуры, которую мы нарисовали, а возьмем только существование ее ограниченности, то и внутри этой ограниченности мы получим не дробящийся круг, а саму дробность, делимость, количественную ее характеристику. Однако, анализируя чистое число, мы не рисуем никакой фигуры на белом листе бумаги. Если мы там оперировали с фигурами или их частями, то здесь имеем дело только с актами смыслового полагания; и если там дробность фигуры требовала для себя проведения границ, точной ограниченности, то здесь для дробности акта полагания требуется определенность и ограниченность первоначального акта полагания. Если акт полагания есть, если он действительно положен, то это значит и то, что он внутри дробим, делим, т.е. что мы можем получить любое (и притом бесконечное) количество таких же актов полагания. Но что нужно для проведения границы и как возникает граница? Граница, как доказывается в общей диалектике, и есть синтез того, что внутри границы, и того, что вне границы, – другими словами, бытия и небытия. Граница одинаково относится и к внутреннему (ибо, напр., круг, если граница не явилась бы его частью, то он не имел бы границы, т.е. не был бы кругом), и к внешнему (ибо окружность круга появляется только тогда, когда мы ее начертили на каком-нибудь фоне, т.е. когда она есть часть фона, или инобытия), точно так же как одинаково не относится ни к тому, ни к другому. Граница – первый синтез бытия и небытия; переходя к дальнейшему диалектическому развитию этого синтеза и переводя его в новое инобытие, получаем еще новый, уже упоминавшийся выше синтез, становление. Если граница дает только возможность дробления, то становление реально осуществляет это дробление, а еще дальнейший синтез – ставшее в своей смысловой выразительности – дает каждое отдельное число как таковое.

Акты полагания в целях облегчения и конкретизации мысли удобно представлять себе в виде точек. Ставши на почву такой аналогии, мы можем еще следующим образом представить себе структуру числа.

Если такие точки существуют и их много или несколько, то ясно прежде всего, что есть точка вообще, точка пока еще не в виде раздельного ряда точек, а так, как она существует везде и всегда. Если существуют точки в частности, т.е. такие или иные точки, то это значит, что существует точка вообще. И эта «точка вообще», очевидно, уже везде одинакова, она в себе уже неразличима, самотождественна. Это и заставляет нас в применении к числу говорить о супра-акте, если всякое конкретное число есть всегда то или иное собрание отдельных актов полагания, или отдельных единиц. Итак, момент супра-акта в данной совокупности точек очевиден.

Далее, чтобы была именно совокупность точек, необходимо, грубо говоря, иметь некий общий фон, или поле, – напр., чистый лист бумаги, – куда мы могли бы наносить эти точки. Что это значит? Это значит, что кроме «точки вообще» должно быть нечто отличное от этой точки. Точка есть абсолютная самособранность и самоутвержденность; «отличное» же от этой точки, если оно действительно отлично, должно быть не-самособранным, самораспределенным, самораспространенным. Это то «пространство», то «место», тот «лист бумаги», где мы могли бы ставить разные точки. Однако, имея в виду строгость логической формулировки, мы не можем употреблять эти многозначные и неясные, а к тому же еще и бесчисленные по своему количеству термины. Единственно, что тут важно, – это только то, что должно быть нечто иное, не-точка, инобытие точки, и – больше ничего. Все же прочее есть только описания и метафоры. Следовательно, чтобы образовалась совокупность точек, должна существовать «точка вообще», супра-точка, супра-акт, и должно существовать инобытие этой точки и акта, этот фон, на котором она могла бы воспроизводиться. Ясно, что тут мы переходим от «точки вообще», от «неположенной» точки, к точке положенной, утвержденной, в отношении которой всякое окружающее ее инобытие есть точка отрицательная, точка реально не утвержденная, реально отрицаемая точка.

Только с введением этого инобытийного принципа мы впервые получаем возможность иметь вообще несколько точек, т.е. иметь вообще совокупность точек. Одной этой возможности, однако, мало. Необходимо, чтобы она превратилась в реальность, т.е. чтобы мы не просто имели «точку вообще» и ее инобытие, но чтобы на фоне этого инобытия действительно стали появляться разные точки. Инобытие из пустого отрицания должно превратиться в наполненное становление, в самовоспроизведение «точки вообще», в повторение, и притом многократное повторение, одной и той же точки.

Заметим, что этот принцип становления в соединении с перво-принципом, с супра-актом, определяет собою одну очень важную особенность числовой совокупности, а именно единство направления. Само по себе становление ни о каком единстве не говорит, да и о направлении ничего не говорит. Чистое становление есть только некая неустойчивость бытия, как бы размывание и таяние бытия, и тут еще нет никакого направления. Если же сюда присоединить первый принцип, который есть принцип именно абсолютного единства