Диалектические основы математики - Алексей Федорович Лосев

новом инобытии, в результате чего первые два становятся в определенное отношение к третьему слою, т.е. в результате чего образуется некое отношение, которое является законом построения целой комбинации чисел (напр., ряда). Разные диалектические ступени внутри этой ставшей сущности постепенно и все более и более конкретно осуществляют это отношение чисел на этой комбинации чисел.

Та ступень, которая дает отношение, пропорцию и ряд, еще оставляет указанные три слоя в том их сыром виде, в каком доставила их нам ставшая сущность. Но уже вторая ступень (делимость, комбинаторика, детерминанты) растворяет первые два слоя один в другом, так что остается только одно непосредственное число, воплощаемое на комбинации чисел. Третья ступень, матрица, сливает и два оставшихся слоя в один, так что ставшая сущность получает ровное и гладкое многомерное строение, когда перед нами целая система разных, но вполне равноправных чисел, данная в виде неподвижной таблицы. Та единица, с которой началась арифметика, расцвела здесь в целую систему разноприродных и разноскомбинированных единиц.

b) Но сущность единицы заключается в единичности, в объединении всего иного, чему она сообщается. И эта разноприродная разноскомбинированная единица переходит еще в дальнейшее инобытие, с тем что[бы] и его превратить в себя, т.е. в эту разноприродную и разноскомбинированную коллективную единичность. Однако везде было так, что бытие, сообщаясь инобытию, отчуждалось от себя самого и снимало с себя план, снимало свой смысл, чтобы передать его инобытию и, таким образом, иметь этот смысл уже общим и для себя, и для своего инобытия. Точно так же и здесь система чисел, передавая свой смысл инобытию, тем самым создает некую общую закономерность, одинаково присутствующую и на ней, и на ее инобытии, т.е. тем самым создается уже несколько систем, объединенных одной общей закономерностью.

c) С одной стороны, общая теория числа (§ 31) и многочисленные ее повторения в отдельных моментах диалектического процесса уже хорошо научили нас переходить от ставшего, наличного, бытия к выражению. Выразительная форма бытия возникает в тот момент, когда все внутреннее в бытии становится внешним и когда по внешнему необходимым образом узнается внутреннее, хотя это и две совершенно различные и несводимые одна на другую сферы. В ставшей сущности мы находим много «внутреннего». Весь тот смысл, который несла с собою чистая единица и который в дальнейшем дал разные типы числа и разные действия над ними, он тут зафиксирован в ставшей сущности как царящие внутри нее числовые отношения. Виднее всего это на ранней ступени наличного бытия (отношение, пропорция, ряд), где отношение пробегает по всему числовому ряду, само оставаясь неизменным. Здесь внутренний смысл ставшего в полном смысле оказывается внутренним, он не переступает границ ставшей сущности и потому не делается внешним. На второй ступени ставшей сущности этот внутренний тип уже менее внутренний. До него легче добраться. Сам он уже только односоставен, он только некое определенное число, данное в своем непосредственном количестве. Еще более внешним этот внутренний смысл ставшего делается на третьей ступени, на стадии матрицы. Здесь он, в сущности, вполне тождествен с внешней структурой; он весь перевоплотился во внешнюю структуру, поскольку матрица и есть система чисел как именно система чисел. Однако этого еще мало для выражения. Это только еще перво-принцип выражения, но не само выражение. Необходимо, чтобы это внутренно-внешнее бытие устремилось вовне, излилось смысловой энергией на иное и из бытия-в-себе (хотя и выразительного) стало бытием-для-иного, и притом для всего иного (хотя и не растворилось в ином, а только смысловым образом открылось ему). Тогда, и только тогда, может идти речь о подлинном выразительном лике арифметической сущности числа.

d) Что же мы имеем в той системе систем, в том ряде рядов, который мы дедуцировали выше? Поскольку каждая система и ряд построены определенным образом, постольку они хранят в себе закономерность, которая для них вполне внутренняя. Но поскольку таких рядов несколько, постольку указанная закономерность, внутренняя для каждого из них, поневоле выходит за пределы каждого ряда, чтобы сообщиться другому ряду, и потому она уже перестает быть внутренней, а становится еще и внешней для всех этих рядов, внешней – ибо общей. Для каждого ряда эта закономерность внутренняя, так что, казалось бы, раз она внешняя для одного и другого, то внешняя она и для всех рядов, входящих в эту общую систему. Но с другой стороны, именно потому, что эта закономерность для всех рядов системы вполне общая, именно поэтому она для всех них и внешняя, так как она действительно осуществлена в каждом ряде, и для каждого ряда, взятого в отдельности, она, как осуществленная в другом ряде, внешняя, а стало быть, и для всех внешняя. Следовательно, закономерность эта есть бытие внутренно-внешнее. Но поскольку указанных рядов несколько и они друг в отношении друга есть инобытие (хотя и тоже связанное определенной закономерностью), постольку наша общая внутренно-внешняя закономерность не покоится на месте, но пребывает в живом становлении, закономерно переходя не только в каждом ряде от одного элемента к другому, но и во всей системе рядов – от одного ряда к другому.

Таким образом, имея несколько числовых рядов, объединенных в одну общую систему так, что одна-единственная закономерность определяет собою как структуру каждого ряда, так и взаимоотношение всех рядов, имея такую систему рядов чисел, мы имеем подлинную выразительную форму арифметической сущности числа.

Эта закономерность системы систем и есть композиция.

2.

a) Но для изучения диалектической природы композиции будет очень полезно дедуцировать ее из фактического содержания предыдущих категорий арифметики. Если мы знаем, что выражение есть смысловым образом становящаяся, энергийная внутренно-внешняя структура, то это дает нам путь и для конкретно-математической дедукции. Наличное бытие выносит в выражении свое внутреннее наружу. Но где у нас в предыдущем это наличное бытие, или ставшее, и в чем его внутреннее? Последней и наиболее зрелой формой ставшего у нас была матрица. Она несла с собою и определенный внутренний смысл, который мог быть только количественным ее содержанием. Да и вообще числовой смысл в арифметике неотличим от количества. Внутреннее тут – количество. Но оно, конечно, не есть количество вообще, а определенным образом скомбинированное количество. Последним для матрицы является только детерминант. Следовательно, чтобы перейти в сферу выражения, матрица должна вовне выявить свой детерминантовый смысл. А так как выше мы уже пришли к выводу, что в выразительной сфере число оказывается не просто системой, но системой систем чисел, то вот в какой форме ставится теперь диалектическая задача: как проявляет себя детерминант, когда он из внутреннего содержания одной матрицы становится закономерностью для комбинации сразу нескольких матриц в нечто единое? Ответить