Диалектические основы математики - Алексей Федорович Лосев

Вот таким же точно «числом», вернее, системой чисел является и матрица. Она, конечно, не есть безразличное собрание каких угодно чисел. Она все же есть нечто целое, которое во всех своих элементах управляется определенным законом. Однако это не то целое, каким является, напр., арифметическая или геометрическая прогрессия и где целое не дано конкретно во всех своих элементах, а только в известном законе его построения. Матрица – это есть система чисел, которая хотя и является чем-то закономерно-целым, но в которой каждое отдельное число положено не просто принципиально, но во всей своей фактической индивидуальности.

3.

a) Отсюда и основные свойства матрицы. Все они связаны именно с индивидуальным значением каждого ее элемента.

Матрица нулевая тогда, когда все ее элементы равны нулю. Две матрицы считаются равными не тогда, когда равны числа, составленные тем или другим способом из их элементов (как в детерминантах), но когда одинаковы все их соответствующие элементы при равном числе горизонталей у каждой и равном числе вертикалей у каждой. Сложить одну матрицу с другой – это значит сложить их соответствующие элементы. Можно даже сказать, что матрица есть в некотором роде векторное число, поскольку арифметика способна отличать вектор от скаляра.

Умножить матрицу на обыкновенное скалярное число – значит умножить на него каждый ее отдельный элемент. Здесь же и все обыкновенные законы счета. Оригинально (как и вообще в комплексных числах) умножение матрицы на матрицу. Умножить в этом смысле – значит составить новую матрицу так, что каждый ее элемент на пересечении i-ой горизонтали и j-й вертикали получится, если каждый элемент i-й горизонтали первой матрицы умножили на соответствующий элемент j-й вертикали второй и сложили все полученные этим способом отдельные произведения (имеются в виду сомножители и произведения одного и того же порядка). В умножении матриц, вообще говоря, не соблюдается коммутативный закон; и это наиболее характерное для матрицы свойство мы уже имели случай воочию видеть при рассмотрении умножения кватернионов (§ 113). В то же время здесь действительны ассоциативный и дистрибутивный законы (как и вообще в комплексах).

В этом же ряду особенностей матричного исчисления необходимо отметить то, что произведение матриц может обращаться в нуль (матрица равна нулю, когда все ее элементы равны нулю) даже в том случае, когда матрицы-сомножители и не суть нули. Напр., при любых a и b

Это обстоятельство вполне аналогично комплексной области, относительно которой Вейерштрасс доказал даже следующую теорему: при обычных законах сложения и умножения, когда, кроме того, нуль есть единственный делитель нуля, комплексных чисел с тремя единицами не существует (так как они сводятся или к вещественным числам, или к комплексным типа a + bi). По этой теореме, стало быть, выходит, что если вообще существует комплексное число больше, чем с двумя единицами, то тут при коммутативности умножения существуют делители нуля, отличные от нуля, т.е. деление тут неоднозначно, Фробениус и Пирс расширили теорему Вейерштрасса в том смысле, что доказали единственность гиперкомплексной системы при некоммутативности умножения, но с однозначностью деления; эта система – кватернионы с вещественными коэффициентами. Стало быть, только числа типа a + bi, строго говоря, могут считаться допустимыми в арифметике, если не придавать ей матричного расширения. Однако матрицы при всей их важности для разных отделов математики и естествознания и связанности с ними и по своей структуре (таковы, напр., функциональные матрицы) все же коренятся в арифметике как в сфере, вообще говоря, непосредственной значимости чисел.

b) Матрицу можно понимать как совокупность детерминантов. Имея квадратную матрицу с n2 элементами, можно получить один детерминант n-го порядка и известное количество детерминантов низшего порядка, которое легко вычисляется, если принять во внимание, что число детерминантов 1-го порядка равно n2 (или mn, если матрица прямоугольная), число детерминантов 2-го порядка равняется квадрату числа сочетаний из m по 2 и т.д. Матрица имеет свой ранг. Матрица считается ранга r, если в ней есть по крайней мере один отличный от нуля детерминант, в то время как прочие детерминанты в ней высшего порядка все равны нулю. Всякая матрица ранга r есть сумма r матриц ранга 1. Таково формальное отличие матрицы от детерминанта, становящееся внутренно понятным только с указанным привлечением «векторного» представления.

4.

Но особенно важно для понимания матрицы и детерминанта еще одно обстоятельство, играющее большую роль в математической практике.

a) Именно, общая категориальная основа изучаемой области арифметики определяет собою одну особенность, на которую мы не указывали и которая получит свое настоящее значение в алгебре. Дело в том, что ставшее, полагая твердые границы для становления, впервые реально осуществляет диалектику постоянства, неизменности. Когда мы имеем дело с числом как таковым (натуральные числа, разные типы числа), мы хотя и имеем перед собой нечто устойчивое, но эта устойчивость тут еще не положена диалектически; она существует в числе вместе со всеми другими категориями. Также и в отношении арифметических действий нужно сказать, что хотя они и существуют благодаря становлению, т.е. благодаря некоторого рода движению, действию, изменяемости, но сама изменяемость тут не утверждена специфически. Только когда неизменное-в-себе и изменчивое-в-себе, т.е. бытие и становление, числа и действия, объединятся в одно общее диалектическое обстояние, мы тогда сможем говорить в собственном смысле об изменяемости и неизменности. Другими словами, здесь мы наталкиваемся на бытие, в котором то и другое положено, утверждено. Выражаясь математически, ставшее впервые делает возможным суждение об инвариантности.

Пусть дан тот или иной геометрический образ. Сам по себе он, конечно, неподвижен. Однако, чтобы эта неподвижность была действительно диалектически положена, необходимо, чтобы существовала такая сфера, где эта неподвижность четко противополагалась подвижности. Только тогда из взаимоопределения этих явлений мы получаем источник фиксации того и другого. Именно, пусть наш геометрический образ как-нибудь меняется, испытывает преобразования. Если при этом нечто остается в нем неизменным и мы видим, что именно, то тогда, ясно, неизменное у нас окажется зафиксированным, диалектически утвержденным. И если раньше этот момент был неподвижен в себе, то теперь он уже неподвижен в себе и для себя, что стало возможным только потому, что он предварительно оказался неподвижным для иного. Пусть, например, мы заметили, что при любых увеличениях и уменьшениях радиуса окружности отношение самой окружности к диаметру остается неизменным. Стало быть, это есть некоторый инвариант. Пусть мы имеем два полинома с двумя переменными, и пусть эти последние потерпели некоторое преобразование. Как бы мы ни меняли в этом