Диалектические основы математики - Алексей Федорович Лосев

действительно рассматриваем отдельные этапы арифметического действия в свете самого результата этого действия. Однако для этого не надо прибегать к пропорции или к нескольким пропорциям. Уже если имеется просто отношение a/b, то и здесь мы должны находить ставшее в анализируемом смысле, т.е. освещение устойчивых этапов определенного арифметического действия в свете результата этого действия.

4.

Развернутую форму анализируемой категории отношения мы можем найти в том, что математики называют рядам (хотя чистый ряд как таковой, т.е. без диалектически положенного единства взаимоотношения его членов, мыслится еще до ставшего в пределах уже одного только становления, как это мы имели, напр., в § 19). Конечно, в данном месте нашего исследования речь может идти только о числовых, а не функциональных рядах (имея в виду наше понимание арифметики и алгебры в § 84). И типов этих рядов, очевидно, столько же, сколько и типов арифметических действий. Существуют арифметические, геометрические, степенные, биномиальные и пр. ряды. Во всех этих рядах мы имеем комбинации устойчивых чисел, но по этим числам пробегает определенное «отношение», получаемое как результат того или другого арифметического действия. Здесь, следовательно, цельный процесс определенного арифметического действия распался на ряд устойчивых изолированных чисел, которые, однако, скомбинированы соответственно типу данного действия.

Таков первый этап новой арифметической категории, возникающей вслед за категорией действия.

§ 121.

Делимость чисел.

Комбинаторика.

Детерминанты

1.

a) Уже с первого взгляда видно, что полученная форма новой категории совсем не единственная. Мы имеем, следовательно, некую систему чисел, расположенных с точки зрения определенного отношения, царящего среди них. Система тут рассмотрена с точки зрения единообразного взаимоотношения элементов, входящих в систему. Но ясно, что возможно еще несколько и по крайней мере две других точки зрения на эту «ставшую» систему. Сначала система рассматривается в целом, без внимания к каждому отдельному типу. Говоря, напр., об «арифметической» или «геометрической» прогрессии, мы высказываемся сразу о всех ее членах без разбору. Важна только структура ряда, а она вполне определена первым членом ряда (или суммой ряда) и его «разностью» или «знаменателем». Но можно ведь выбрать любой отдельный член ряда и отвлечься от ряда в целом. Можно данную систему чисел привлекать только к какому-нибудь числу системы и рассматривать ее только с точки зрения этого последнего. Таким способом намечается иная диалектическая перспектива, хотя и вполне в пределах изучаемой нами сейчас арифметической категории, но все же – в явной антитезе к формулированному выше суммарному подходу. Так же как в логике, мы имеем кроме общих суждений еще и частные, кроме суммарных понятий еще и индивидуализированные, точно так же и в арифметике мы можем говорить об определенной системе чисел сразу, в целом, суммарно, и – о каждом элементе этой системы в отдельности, в его индивидуальной значимости. Раньше единство отношения элементов расплывалось по всей системе, теперь же оно притянуто к одному или нескольким ее элементам, в их отвлечении от системы в целом.

b) Но тогда сам собой подсказывается и третий подход. В логике кроме суждений общих и частных мы имеем еще суждения разделительные, в которых общность распределена между всеми отдельными ее представителями. Система чисел может быть рассматриваема так, что она в одно и то же время оказывается и общей, целой, и разделенной, индивидуализированной. Тогда вся система чисел положена перед нашими глазами со всеми своими элементами. Конечно, все эти элементы имелись и при суммарном подходе, но внимание там фиксировалось вовсе не на каждом из них, а значит, и не на всех них вместе. Только фиксируя каждый элемент системы в отдельности, мы можем потом получить и всю систему во всей ее едино-раздельности. Тут система чисел превращается в некую таблицу, которая всякий раз действует со всей едино-раздельностью своих элементов.

2.

Система чисел с точки зрения единства их взаимоотношения, данная как безраздельная общность, есть отношение, пропорция и арифметический ряд. Та же система, но данная для каждого отдельного своего элемента или для нескольких, т.е. как различимая общность, создает еще новые категории, получающие в математике огромное значение. Тут, однако, тоже скрывается достаточная категориальная сложность, требующая внимательного анализа.

Итак, мы забываем о системе чисел в ее целом и привязываем ее только к какому-нибудь одному ее элементу. Таким образом, получается новая система чисел во главе с каким-нибудь одним числом, т.е. какое-нибудь одно число рассматривается как система чисел, как определенным образом составленное из целой системы чисел, как определенным образом вычисленное при помощи целой системы чисел. Конечно, всякое арифметическое действие тоже есть получение некоторого числа при помощи целой системы чисел. Но не будем путаться в трех соснах: под системой чисел понимается у нас не просто та или иная комбинация чисел, но ряд, последовательность чисел. Следовательно, в настоящем случае мы привязываем к данному числу известную последовательность чисел, составляем его при помощи ряда чисел или даже нескольких таких рядов. И вот здесь-то и возможно по-разному смотреть на структуру числовых систем.

a) В течение нашего исследования мы уже много раз применяли к числу категории «смысла», «бытия» и «осмысленного бытия». «Смысл» арифметического числа есть, вообще говоря, его количество. Смысл пятерки заключается в том, что тут перед нами пять единиц, и больше ничего другого нет! Ту же самую пятерку мы можем рассматривать с точки зрения «бытия». Это значит, что нас тут интересуют самые акты полагания, из которых состоит пятерка. Оба подхода мы можем соединить и в один. Вот это разделение, которое кажется пустым в более отвлеченных теориях числа, становится весьма ощутительным, когда мы переходим к сложным и разветвленным структурам. Наше число, составленное при помощи целой системы (или ряда) чисел, можно брать именно чисто количественно или, так сказать, по его смысловому содержанию; можно его брать и по заключенным в нем актам полагания; можно, наконец, рассматривать его и по совокупности обеих точек зрения. Во всех трех случаях число будет составляться при помощи системы или рядов чисел.

b) Всмотримся в первый способ конструирования числа из системы чисел. Мы, стало быть, берем число в его чисто количественной значимости и спрашиваем себя, как его можно составить из того или иного ряда чисел, расположенных по тому или иному закону. Простейшей и яснейшей проблемой арифметики, относящейся сюда, является, очевидно, проблема делимости чисел. Иметь точное представление о делимости числа – это и значит рассматривать данное число при помощи целого ряда определенным образом подобранных чисел. В частности, вопрос о том, делится ли данное число N на q без остатка, есть, напр., вопрос о