Диалектические основы математики - Алексей Федорович Лосев

что логарифмирование, поскольку это есть операция нахождения степени, имеет целью фиксировать в общем процессе органического развития не начало этого развития (как извлечение корня) и не конец этого развития (как при возведении в степень), но то, что происходит между началом и концом. Что же именно тут происходит? Происходит самый рост, процесс роста. Но его необходимо формулировать математически, т.е. перевести на формальный язык чисел. Но что такое органический рост, если его понимать чисто количественно, а не содержательно? Рост есть непрестанное самовоспроизведение. То, что это есть именно самовоспроизведение, это уже зафиксировано в предыдущих моментах нашего анализа роста, равно как и то, что это есть именно самовоспроизведение. Но что же тогда остается в росте? Остается только метод этого самовоспроизведения, закон самовоспроизведения. Ни «самость» и ни «воспроизводимость» не характерны для логарифмирования; вернее, эти категории характерны для него в той же мере, как и для возведения в степень, и для извлечения корня. Для логарифмирования характерен именно закон развития, не органическое развитие как таковое, но его методический принцип. Этот принцип показывает, что именно должно случиться с организмом и до каких пределов мыслится его развитие. Но по основной и неизбежной формальности числового языка математика и этот закон может выразить только количественно, т.е. она может только указать, сколько раз произойдет самовоспроизведение первоначального организма. Это и будет т.н. показатель степени, а самая операция нахождения степени основания по данному основанию и данному конечному количеству развитого основания и будет логарифмированием. Следовательно, если в основе возведения в степень лежит категория отождествления отдельных элементов в целое, а в основе извлечения корня – различение отдельных элементов на фоне целостного результата органического роста, то в основе логарифмирования лежит изучение движения этого развития и не столько самого движения, сколько устойчивого закона этого движения, т.е. движения, данного в аспекте твердой и покоящейся формы этого движения, – иными словами, в аспекте подвижного покоя органического развития.

d) Не забудем, однако, что природа числа противостоит природе вещи как чисто смысловая конструкция, что действие чисел, изучаемое здесь, есть действие чисто смысловое, смысловая энергия числа, что имеется здесь в виду смысловая картина органического развития, а не вещественный его коррелят, не механическая копия. И, давая определение рассмотренным действиям, тут в особенности не забудем ввести это обстоятельство в формулу

4.

a) Применим в целях большей компактности изложения выше сформулированные (§ 115, п. 4) категориальный и структурный принципы рассматриваемых действий.

Мы знаем из общей теории числа (§ 27) о пяти основных внутри-эйдетических категориях числа (бытие, самотождественное различие и подвижной покой). Последние две мы уже исчерпали для конструирования первых четырех арифметических действий. Остается «бытие». Это бытие, как мы знаем из той же общей теории числа, есть то, чем число является, «что» числа, его смысл, его индивидуально-смысловое содержание, его, если угодно, эйдос. Оно противостоит инобытию, и, когда оно в этом последнем воплощается, оно становится субстанцией. В сложении числа брались только в своем смысловом (внешне-инобытийном) содержании. В умножении числа берутся так, что одно воспроизводится на другом по своему факту, берется инобытийно по своему факту (откуда и внутреннее объединение с этим инобытием). В возведении в степень, наконец, одно число воспроизводится в другом и по своему факту, и по своему смыслу – короче говоря, по своей субстанции (так что возникает синтетическое внутренно-внешнее воспроизведение). Поэтому мы и формулировали в § 115 п. 4 категориальный принцип рассматриваемых действий как взаимоотношение становлений, переходящих друг в друга в порядке субстанциального самоотождествления.

Бытие этого субстанциального самоотождествления есть соответствующий рост числа согласно показателю его степени. Инобытие приносит с собою новое число (самую степень), в котором мы, согласно становлению, сосчитываем полученные единицы, а согласно со ставшим получаем самую степень. Выразительно-эманативная энергия соответствующих действий фиксируется в знаках показателя, радикала (√) и логарифма (log).

b) Но прежде чем дать формулы и применить то, что в предыдущем пункте этого параграфа мы сказали раздельно о трех изучаемых действиях, мы должны учесть то, что «бытие», о котором мы здесь говорим как о последней из пяти внутри-эйдетических категорий, может быть рассматриваемо и само по себе, и в совокупности как с самотождественным различием, так и с подвижным покоем. Это и дает возможность ясно представить себе диалектическое содержание трех рассматриваемых действий.

Возведение в степень есть смысловая энергия разных становлений, переходящих одно в другое в порядке субстанциального отождествления.

Извлечение корня есть смысловая энергия разных становлений, переходящих одно в другое в порядке субстанциального различения.

Логарифмирование (поскольку о нем может идти речь в арифметике) есть смысловая энергия разных становлений, переходящих одно в другое в порядке самотождественного различия и образующих в результате подвижной покой.

Можно говорить и иначе.

Возведение в степень есть смысловая энергия числа, функционирующего в аспекте отождествления его внутренно-внешних инобытийных воспроизведений.

Извлечение корня есть смысловая энергия числа, функционирующего в аспекте различия его внутренно-внешних инобытийных воспроизведений.

Логарифмирование есть смысловая энергия числа, функционирующего в аспекте подвижного покоя его внутренно-внешних инобытийных воспроизведений.

5.

Заметим, что категория подвижного покоя, выступающая в логарифмировании, вполне налична, собственно говоря, также и в отношении первых двух пар арифметических операций. Однако невозможно придумать новой операции подвижного покоя в отношении сложения и вычитания, потому что здесь эта операция вполне совпадает технически с основными действиями. Если бы мы захотели получить не только отождествление отдельных чисел в одной их сумме и не только различение какого-нибудь числа на фоне общей суммы чисел, но еще и найти закон движения этого отождествления и различения, то мы должны были бы просто сказать, что в качестве такого закона действует само же сложение или вычитание. Технически эти операции вполне совпадают, хотя логически они вполне различны. Найти закон составления суммы или разности – значит точно зафиксировать количество и характер слагаемых или уменьшаемого и вычитаемого. Это же относится и ко второй паре – умножению и делению. И только в отношении к третьей паре арифметических операций оказывается целесообразным выделить нахождение закона движения в особую операцию, и только тут для особой логической категории (подвижной покой) возникает и особый технический коррелят (логарифмирование).

§ 119.

Заключение

1.

Диалектика простейших арифметических действий – очень тонкая вещь. Тут нагромождена масса логических категорий, которые с трудом поддаются анализу. Повторим еще раз вышеприведенную схематику, чтобы не оставалось никакой неясности.

a) Нужно прежде всего твердо держать в памяти то, что было сказано в § 115, п. 4 о перво-принципе арифметических действий, о категориальном принципе и о структурном принципе. Из них проще первый и третий.