Диалектические основы математики - Алексей Федорович Лосев

оно исчезает в общем тождестве, также идейном (сумма), и тогда умножение и деление есть уже переход от идеи к факту, к инобытию идеи, к фактическому воспроизведению идеи. Во втором случае даются сначала внешне различные субстанции, факты и сливаются они в нечто единое, тоже фактическое (сумма), но тогда умножение и деление необходимо интерпретировать как идейное наполнение и убыль одной и той же субстанции.

Различие этих толкований ничего особенного собою не представляет. Раз в диалектике две категории связаны диалектическо-антиномически, то их всегда можно взаимно переставить. Если есть бытие и есть инобытие, то ровно ничего не изменится, если мы инобытие будем трактовать как бытие, а бытие – как инобытие.

§ 118.

Возведение в степень, извлечение корня и логарифмирование

1.

Всякая вещь есть некий факт, и всякая вещь имеет некий смысл, или идею. Она есть осмысленный факт и осуществленная идея. Если отнять у вещи факт, она превратится в чистую идею и, следовательно, перестанет существовать; и если отнять у вещи ее идею, смысл, она перестанет быть самой собой и превратится в бессмысленный хаос неизвестно чего, т.е. тоже перестанет существовать. Конкретное бытие есть единство и тождество идеи и факта, сущности и явления, сознания и бытия. Эта элементарная диалектика должна быть применима и к числу, поскольку она применима решительно ко всякому виду и типу бытия. Предыдущие рассуждения показали нам, что в сложении и вычитании превалирует, скажем, идея и сущность, факт же и сущность, фактическая субстанция числа остается нетронутой, неподвижной; о ее судьбах ничего не слышно, и о ней не ставится никакого вопроса. В умножении и делении, наоборот, мы переходим в сферу явления, факта, субстанции, внешне-фактического инобытия, ибо как раз ставится вопрос о внешнем воспроизведении числа, о его инобытийной судьбе. Внешнее инобытие, или внешний материал, здесь появляется впервые, и пока ему даны только чисто инобытийные же, чисто материальные функции, функции внешне оформлять, воспроизводить, давать материал для воспроизведения. Отсюда вытекает два фундаментальных вывода.

a) Прежде всего, умножение и деление есть та функция числа, которая обусловливает собою и делает возможным фактическую природу всякого механизма. Механизм есть такое воплощение идеи в материи, материале, когда главным и основным остается сама идея в своей отвлеченности, а материал продолжает быть таким же мертвым материалом, каким он был и раньше, и его преобразует здесь только чисто внешняя новая организация. Механизм можно поэтому сломать и починить и можно любую его часть изъять и вставить обратно. Это возможно только потому, что инобытие идеи, материал, в котором она осуществлена, не вступает в механизме в полное отождествление с идеей, не пронизывается идеей и смыслом настолько, чтобы быть столь же неповторимым и оригинальным, как и сама идея. В механизме отдельные материальные части лишь внешне объединены, объединены схематически, оставаясь внутренно вполне противоположными и даже несовместимыми. В умножении и делении данный представитель числового бытия механически воспроизводится; и потому множитель здесь и играет такую подсобную и чисто внешнюю, обозначительную роль. Правда, в умножении и делении мы уже переходим в бытие, в факт, в действительность, в сферу, где воспроизводится сама субстанция числа. Сложение и вычитание суть диалектический тезис, это – сама идея, о внешнем бытии и существовании которой еще не ставится никакого вопроса. Умножение и деление – диалектический антитезис, где на первый план выступает уже внешняя судьба числовой идеи, инобытие и фактическое осуществление числа, число как субстанция и действительность. Но вся эта инобытийная сфера дана здесь именно как только инобытийная, а так как чистое инобытие противоположно смыслу и само-то никакого смысла в себе не содержит, а живет только воспроизведением того смысла и идеи, в отражении которых она и есть инобытие, то в умножении и делении мы находим лишь механическое, схематическое действие инобытия, когда конкретно данным остается только сама первоначальная идея, т.е. в данном случае множимое (произведение) и делимое (частное), а инобытие лишь внешне и буквально повторяет эту изначальную данность.

b) И далее сама собой напрашивается мысль о таком объединении идеи и материи, числа и его внешнего инобытия, где материя и инобытие перестало бы быть только чем-то внешне организованным и оформленным, где произошел бы полный синтез числа как идеи и числа как инобытия и где в результате этого синтеза появился бы не механизм, но организм. Во всяком механизме лежит в основе презрение к материи и уничижение ее. Механизм есть не возвеличение и увенчание материи, но ее преуменьшение и принижение, поскольку любая часть механизма в любую минуту может быть изъята из целого и заменена другой. Тут, значит, все дело не в материи, не в теле, а во внешней и отвлеченной схеме, которую можно осуществить на любом материале и из любого куска данного рода тела. Не то в организме. Организм есть прежде всего уважение к телу и материи, внимательное и субтильное отношение к этому «внешнему» и «случайному». В организме нельзя заменять по произволу одни части другими; и это потому, что тут важна не только осуществившаяся в организме идея, но и тот телесный материал, на котором осуществилась эта идея, так что определенные части этого материального организма оказываются уже столь же неповторимыми, индивидуальными, ни на что другое не сводимыми и подлинно, субстанциально оригинальными, как и сама идея.

Вот почему если идея есть тезис, а механизм есть ее чисто инобытийное осуществление, антитезис, то организм есть синтез идеи с ее инобытием, тот синтез, где уже нельзя различать идею и факт, поскольку в организме не только идея дана чисто материально (так что она уже не просто отвлеченная схема, которую можно механически воспроизвести сколько угодно раз на любом материале), но и материя дана чисто идеально (так что она или по крайней мере некоторые ее моменты так же неповторимы и неразъединимы, как и сама идея). Следовательно, возвращаясь к числу, мы должны ожидать, что среди операций числа находятся не только те, где осуществляется чисто идейная («зрительная») энергия числа, и не только те, где осуществляется механическая энергия числа, т.е. где число порождает субстанцию механизма, но и такие операции, в которых энергия чисел приводит к появлению организма, где число дано как организм, где самый смысл числовой операции есть не что иное, как числовой эквивалент органической жизни. Такими операциями и являются возведение в степень, извлечение корня и логарифмирование (хотя логарифм есть трансцедентная функция и вычисляется методом интегрального исчисления). Тайна их заключается в том, что они на чисто числовом языке повествуют о жизни и