Диалектические основы математики - Алексей Федорович Лосев

единиц, входящих в разные слагаемые; и этот пересчет совершенно равноправен. С одинаковыми намерениями и с одинаковым заданием относится к единицам, входящим в отдельные слагаемые, тот, кто хочет сосчитать эти слагаемые. Сложение и вычитание обладают поэтому зрительной природой, т.е. тем свойством; когда субстанция самой вещи не меняется, а меняется только ее внешняя составленность, что и легко констатировать при помощи зрения. Тут мы фиксируем то, что происходит внутри идеи (суммы), появление и уничтожение отдельных ее элементов, но не задаемся вопросами о судьбе самой идеи, т.е. идеи, взятой в целом. Рамка и фон, экран и самое основание, субстанция складываемых и вычитаемых элементов остаются неизменными; и все действие сложения и вычитания есть как бы умственно зримая картина неподвижной вещи – суммы, внутри которой происходят те или иные различения или отождествления.

§ 117.

Умножение и деление

1.

a) Совсем иначе обстоит дело в умножении и делении. Множимое и множитель, делимое и делитель различаются здесь не просто количественно, как могут различаться между собою слагаемые в сумме. Множимому и множителю принадлежат совершенно разные роли в общей операции умножения, как соответственно делимому с делителем. В сложении каждое слагаемое сохраняет свою индивидуальность, и роль всех слагаемых в общей сумме совершенно равноправная, кроме единственного – чисто количественного – различения. В умножении же свою полную индивидуальность сохраняет только множимое. Только о нем и идет тут разговор, и только о его судьбе и трактует умножение. Множитель здесь не имеет самостоятельного значения. Речь идет не о нем, но о множимом. Множитель только показывает, что случается или должно случиться с множимым.

b) Множитель – инобытие множимого не просто в количественном отношении, как, напр., 3 есть инобытие в отношении 2. Множитель не есть такая форма, которую мы отличили от всякой другой формы внутри данного числа. Такое простое отличение привело бы просто к фиксации того, что в десятке содержится, напр., шестерка и четверка, т.е. к операции сложения или вычитания. Множитель обозначает совсем другое.

c) Он, во-первых, не есть нечто просто внешнее или просто внутреннее в отношении множимого. Множимое есть цельная индивидуальность, и ни о каких ее внутренних различиях тут не ставится ровно никакого вопроса. Множитель указывает на судьбу всего множимого, множимого, взятого вне своих частей, как совершенно неделимая цельность. Стало быть, множитель не есть только внешнее инобытие множимого. Он указывает, что именно случится с множимым, когда оно остается внутренне неизменным, и что произойдет, если его поместить надлежащим образом в совершенно новую для него среду.

d) Во-вторых, как берется это внешнее инобытие, символизированное в виде множителя? Может быть, оно, оставаясь внешним, хотя бы в качестве внешнего мыслится здесь как равноправное с множимым? Нет, нисколько. В то время как множимое взято с полнотой своей индивидуальности, множитель указывает только, сколько раз взято это множимое со всей своей индивидуальностью. Индивидуальность самого множителя остается совершенно в тени, и он выступает только с своей скучной и формальной функцией быть вехой по пути движения множимого. Он берется только как чистое инобытие, ибо инобытие чего-нибудь, если оно берется в чистом виде, есть полная противоположность этого «чего-нибудь», т.е. полная противоположность его смысла, оно есть не смысл «чего-нибудь», а факт его. Факт, взятый в чистом виде, когда неизвестно, чего он факт, есть полная бессмыслица и противоположность смыслу. И реально факт осмысленный содержит в себе некий смысл, но зато он и не есть чистое инобытие смысла; это, наоборот, соединение и синтез смысла и инобытия смысла. Как действует множитель? Как осмысленное множимое или как его чистое инобытие?

Не может быть никакого сомнения в том, что ровно ничего не содержится во множителе из индивидуальности множимого и что множитель есть чистое инобытие множимого. Множитель есть факт множимого, суждение не о смысле множимого, но о его факте. Множитель показывает, сколько раз взято множимое, сколько раз оно положено, сколько фактов множимого желательно взять. Итак, в множимом число взято как полное и настоящее число, с полнотой своей индивидуальности, во множителе же взято число только в функции формального полагания, утверждения факта, и больше ни с какой стороны он не интересует операцию умножения.

2.

Итак, множимое есть то, что в этой операции сохраняет полноту инобытийности, множитель же есть то, что лишь формально воспроизводит субстанцию множимого в иноприродной среде, в инобытии. Множитель есть форма инобытия, внешнего в отношении множимого. Если сложение есть такая энергия числа, которая сжимает и стягивает разные, но равноправные числовые индивидуальности в одну единую, нераздельную индивидуальность, то умножение есть такая числовая энергия, которая обладает силой воспроизводить одну и ту же числовую индивидуальность в среде, ее окружающей. В сложении речь идет о стольких индивидуальностях, сколько дано слагаемых; в умножении же речь идет только об одной индивидуальности, той, которая символизирована в множимом. Вычитание демонстрирует, что в одном числе возможны разные другие числа и что эти числа, будучи такими-то, имеют все одинаковое право на существование и обладают каждое своей собственной индивидуальной природой. Деление же демонстрирует тот интересный факт, что данное число как некая определенная индивидуальность, если учесть тот путь, по которому оно развивалось, сводится к другому, более элементарному числу, являющемуся исходной точкой этого развития, той единственной и подлинной индивидуальностью, которая только и имеется тут в виду и которая претерпела ряд изменений с момента равенства частному до момента равенства делимому. Никакой другой числовой индивидуальности деление не знает.

Итак, в сложении и вычитании ударение лежит на числах, поскольку они даны в своем внутреннем инобытии и самостоятельны – при внешнем противостоянии (отсюда их равноправие), в умножении же и делении ударение лежит на числах, поскольку они даны во взаимновнешнем инобытии (отсюда существенное неравноправие множимого и множителя). Можно сказать и так, что если сложение и вычитание есть некий тезис, то умножение и деление есть антитезис. В первой паре операций мы имеем дело с внутренним инобытием и его внешним сопряжением, во второй – с внешним инобытием чисел, вступающих в некоторое внутреннее взаимоопределение, т.е. в условиях внутреннего роста одного из таких чисел. Еще можно сказать и так. Поскольку внутреннее инобытие числа и само число есть одно и то же (так как внутреннее содержание числа и есть само число), то в сложении и вычитании имеется в виду энергия числа самого по себе, взятого именно как число (если брать сумму); в умножении же и делении, где смысловое ударение переходит на внешнее инобытие, т.е. на число в его внешне-[ино]бытийном воплощении и существовании, имеется