Диалектические основы математики - Алексей Федорович Лосев

2.

a) Существенным моментом операций возведения в степень, извлечения корня и логарифмирования (поскольку о последнем можно говорить в арифметике) в отличие от умножения и деления является то, что тут нет механического повторения первоначально данного числа. Когда мы имеем, напр., 34 = 81, то здесь процесс мысли идет вовсе не в том направлении, чтобы одну и ту же тройку повторять и воспроизводить столько раз, чтобы в результате получилось 81. Разумеется, поскольку математика есть вообще чисто формальная дисциплина в том смысле, что она оперирует только с числами (а числа по природе своей отвлеченны и применимы к любому содержанию бытия), постольку в ней не сразу можно определить ту не формальную, а чисто содержательную и конкретную операцию, отвлечением от которой получилась данная математическая операция. Часто бывает очень трудно найти то исходное опытно-конкретное содержание, которое переведено на абстрактный числовой язык. Также загадочны и операции возведения в степень, извлечения корня и логарифмирования; и одно из обычных утверждений математиков гласит, что возведение в степень есть лишь частный случай умножения, как само умножение есть частный случай сложения, когда даны равные по количеству сомножители или слагаемые. Это утверждение грешит логическим формализмом, и оно правильно лишь в чисто счетном смысле. Разумеется, возвести 3 в четвертую степень – это все равно что дать произведение четырех троек или сумму двадцати семи троек. Но это не значит, что по логическому и диалектическому смыслу указанные три действия есть не больше как умножение и деление или сложение и вычитание. Тут есть тонкий оттенок, который всегда будет тонким и субтильным потому, что везде мы имеем здесь дело с чисто числовым языком, который, исключивши из себя всякое смысловое содержание, кроме числового, конечно, сплошь и рядом превратился в настоящую загадку. В чем же отличие возведения в степень от умножения и извлечения корня от деления?

b) Что тут есть также некое воспроизведение первоначального числа в его субстанции, это очевидно. В этом полное сходство возведения в степень с умножением и извлечения корня – с делением. Там и здесь происходит зарождение числа во внешнем инобытии; там и здесь речь идет об алогическом воспроизведении числа на внешнем материале. Но в то время как в умножении множимое механически повторяется определенное число раз, в операции возведения в степень мы видим, что инобытие, охарактеризованное в умножении множителем, а в возведении в степень – показателем степени, всасывает первоначальное число во все свои поры и отождествляется с ним во всех пунктах. Оно не просто воспроизвело его 4 раза, как это было бы в умножении (3 + 3 + 3 + 3), но заставило каждую такую тройку еще раз перейти в себя, т.е. в инобытие, еще раз помножить 3 на 3 относительно каждой из четырех троек. Инобытие здесь проявило себя в каждом отдельном элементе, заставивши первоначальное число воспроизвести себя самого и как бы отразиться в самом себе, в каждом из своих моментов. Возведение в степень есть та энергия числа, которая заставляет любую вещь алогически воспроизвести себя не просто вовне, но в каждом из своих основных элементов, и притом воспроизвести целиком и без остатка.

В умножении субстанция множимого не раскрывается, не развертывается, не расцветает; она тут только воспроизводится при помощи механического повторения. Возведение в степень проникает вглубь первоначального числа, в каждый отдельный его атом, и в этом атоме воспроизводит первоначальное число целиком. 34 = 81 – это суждение значит: первоначальная тройка берется четыре раза, но берется не просто как таковая, но предварительно каждая из этих четырех троек воспроизводит себя самое. Возведение в степень есть сила, заставляющая число воспроизводить себя самого, и притом определенное число раз. В умножении множитель может сколько угодно отличаться от множимого, он – только знак его внешнего повторения. При возведении же в степень «множитель» мыслится всегда одним и тем же, а именно он и есть тут само множимое. Не то что какое-то внешнее инобытие тянет изначально данное число к повторению и воспроизведению, но само же число, само это первоначальное число порождает и воспроизводит себя самого. Тут не внешнее воспроизведение на прежнем материале, но внутреннее самовоспроизведение и притом на своем же собственном материале.

c) В этом и заключается сущность организма в отличие от механизма. Организм растет сам из себя, своими силами, и внешнее инобытие нужно ему только как материал, перерабатываемый им до полного с ним отождествления. В организме – синтез и отождествление внутреннего и внешнего; и на операциях возведения в степень, извлечения корня и логарифмирования это становится вполне понятным. Когда число возводится в степень, оно, во-первых, воспроизводится; стало быть, тут играет роль какое-то внешнее инобытие. Но, во-вторых, оказывается, что воспроизводится оно по своему собственному закону, т.е. по закону, лежащему внутри него самого, так как если брать прежний пример, то здесь каждая тройка множится сама на себя, т.е. воспроизводит сама себя. Следовательно, внешнее инобытие, констатированное нами в целях воспроизведения, оказалось водвинутым внутрь самой тройки; и это не просто внутреннее инобытие, которое может породить только операцию сложения и вычитания. Это – именно сразу и внутреннее и внешнее инобытие числа, та их встреча, где они отождествились и слились в одно нераздельное целое. Инобытие указало здесь не количество механических воспроизведений числа, но тот предел, до которого органически растет первоначально заданное число.

3.

a) Возведение в степень на числовом языке выражает рост организма не в том переносном смысле, как можно говорить о росте числа в процессе умножения, но в том буквальном смысле, который присущ только живому и алогически саморазвивающемуся организму.

Организм в процессе своего роста как бы возводит себя в ту или иную степень.

Организм характерен именно тем, что в каждом своем отдельном моменте он повторяет себя самого, т.е. он всегда целиком в алогическом инобытии, а рост организма заключается в том, что это повторение идет непрестанно вперед, так что сначала весь организм воплощается в каждом своем моменте, потом организм, заключенный в каждом отдельном своем моменте, воплощается в более мелких моментах, т.е. в моментах этого момента, и т.д. и т.д. Идет все растущая вперед детализация организма, и в каждой более мелкой детали воплощается более крупная деталь организма; и, таким образом, весь организм многократно повторяется сам в себе, вбирая в себя внешнее инобытие и постоянно и неизменно подчиняя его себе, отождествляя его с собою и употребляя на построение все более и более мелкие детали, которые в свою очередь расширяются