Диалектические основы математики - Алексей Федорович Лосев

Первый появляется как синтез категорий натурального ряда и типологии. Третий воспроизводит лишь схематику общей теории числа. Более запутанный второй принцип, категориальный.

b) Тут сложная игра категорий. Пять обыкновенных внутри-эйдетических категорий пляшут тут далеко не сразу понятный балет. Чтобы не сбиваться с четкого диалектического пути, скажем прежде всего, что все эти пять категорий, конструирующие вообще всякий эйдос, обязательно участвуют решительно в каждом арифметическом действии. И следовательно, вопрос может ставиться только о том, как они тут участвуют, в каком порядке и в каком взаимоподчинении. Если говорить об основной, о главной, о центральной и превалирующей роли, то необходимо сказать, что первая пара стоит под самотождественным различием, вторая – под подвижным покоем и третья – под бытием (или «субстанцией»). Это видно из того, что в первой паре мы имеем дело с равноправными элементами, которые так и остаются в своем равноправии, входя без всякого изменения в сумму (или разность). Тут, стало быть, можно только их различать и потом отождествлять в одну непрерывную линию становления. Во второй паре множимое, несомненно, движется, раз оно воспроизводится; и в третьей паре, несомненно, речь идет о воспроизведении, но уже о всецелом, о воспроизведении в каждом отдельном моменте воспроизводимого, т.е. о субстанциальном росте.

Итак, превалируют и, так сказать, «задают тон» самой категории каждого действия именно эти категории. Однако тут же участвуют и все прочие категории, но уже подчиненно. В § 117, п. 5 мы указали, что подвижной покой есть и в первой паре, но он не дает тут особенно значительного результата, отдельно от того, что дает самотождественное различие. Так же не было особенного смысла вводить в § 115, п. 4 в определение второй пары категорию самотождественного различия, хотя внимательный читатель, несомненно, заметил, что прибавки в конце формулы умножения «в целях взаимовоспроизведения» и в конце формулы деления «в целях воспроизведения одного в пределах другого» содержат в себе если не прямо указание на эту категорию, то на известное ее частичное функционирование. Наконец, в третьей паре действий и в логарифмировании уже ясно выступает то, как при центральности одной из пяти категорий имеют важное значение и все другие.

c) Метод пяти внутри-эйдетических категорий – это только один из возможных подходов к арифметическим действиям. Другой подход, использованный нами, заключается в использовании инобытийной характеристики. Дело в том, что инобытие есть начало различия, и, внося то или другое инобытие, мы вносим в предмет те или иные различия, т.е. так или иначе рисуем и спецификум интересующих нас категорий. Здесь нужно обратить особое внимание (чтобы не запутаться) на наше замечание в § 118, п. 6.

Первую пару арифметических действий мы можем представить как арену внешнего инобытия чисел. Понимаем мы под этим то, что слагаемые, будучи равноправными моментами суммы, не превращаются одно в другое, а продолжают оставаться внешними одно в отношении другого даже тогда, когда мы, объединивши их в целую сумму, начинаем пересчитывать все заключающиеся в них единицы. Обратное этому имеем мы в умножении. Здесь множимое и множитель существенно неравноправны, так как растет именно множимое, а множитель только определяет размеры этого роста. Результат же этого роста такой, что множимое и его инобытие – множитель, будучи внешними одно в отношении другого ровно так же, как слагаемые в сумме, оказываются в результате умножения, в т.н. произведении, уже внутренно объединенными, настолько внутренно, что уже гораздо труднее их различать в этом общем произведении. Наконец, в § 118, п. 6 мы доказываем, что остальные три арифметических действия связаны с объединенным инобытием, с инобытием внутренно-внешним.

d) Наконец, третий подход, использованный нами в диалектике арифметических действий, пользуется терминологией «смысл», «факт» и «осмысленный факт». В первой паре действий речи нет о «фактическом» распространении входящих сюда элементов. Слагаемые берутся тут только с точки зрения своего смыслового, т.е. непосредственно-количественного содержания. Во второй паре существенно, наоборот, воспроизведение одного другим, т.е. существенен факт, ибо то, что воспроизводит смысловую структуру, есть именно факт. Остальные три действия сливают значащий смысл и воспроизводящий факт в одно синтетическое обстояние, являющееся числовым дублером понятия организма.

e) Наконец, не исключена, конечно, возможность и многих других диалектических подходов к арифметическим действиям. Едва ли, однако, они будут проще – ввиду большой сложности и переплетенности категорий, входящих в состав этих действий.

f) Нижеследующая схема облегчит усвоение предложенной диалектики действий.

тождество сложение умножение возведение в ст[епень] различие вычитание деление извлечение корней подв[ижной] покой логарифмирование перво-принцип = разно-комбинируемое становление самотожд[ественное] различие; внешнее иноб[ытие]; «смысл» подвижн[ой] покой; внутреннее] иноб[ытие]; «факт» бытие (субстанция); внутр[енно]-внеш[нее] иноб[ытие]; «осмысл[енный] факт»

2.

Важно также отдавать себе правильный отчет в истинном смысле синтезирования натурального ряда и типологии при помощи арифметических действий. Последние развертывают те логические возможности, которые кроются в каждом отдельном числовом типе. Если мы вспомним нашу теорию типов числа, то нам постоянно приходилось для пояснения того или другого типа прибегать к арифметическим действиям. Строго говоря, это было совершенно необязательно, так как мы должны были дедуцировать типы числа как некоторые логические категории и для этого вовсе не нужно входить во все те фактические модификации натурального ряда, во все те действия, которые приводят к тем или другим типам. Но зато все эти фактические вычисления обязательны теперь, когда мы рассматриваем самые действия. И мы видим, что синтез типов с натуральным рядом, т.е. рассмотрение типов с точки зрения становящегося счета, с точки зрения процессов счета, ведет уже к фактическим вычислениям, порождающим один тип числа из другого, т.е., попросту говоря, ведет к арифметическим операциям. Типы числа суть неразвернутые арифметические операции, так же как и эти последние суть фактически развернутые числовые типы. Развертывание числового типа в целое действие, очевидно, есть результат применения к типу методов счета. А счет есть прежде всего натуральный ряд чисел.

3.

Важно также чувствовать энергийный, или, если угодно, силовой, характер арифметических действий. Это тоже дар натурального ряда. Типы сами по себе стабильны – так сказать, мертвы. Они неподвижно покоятся перед нами наподобие раз навсегда скомбинированных понятий или вещей. Арифметические же действия суть некоторого рода силы, смысловые силы и заряды, которые не покоятся на месте, но сущность которых состоит в излиянии силы. Это потому, что тут действует мощь натурального ряда, прямо или косвенно содержащаяся в каждом арифметическом действии. Потому «плюс» (+) есть именно некоторого рода смысловая энергия, энергия