Диалектические основы математики - Алексей Федорович Лосев

том, можно ли составить арифметическую прогрессию, в которой первый член есть 0, последний = N, а разность = q. Но и без этого ясно, что вопрос о том, каковы делители данного [числа], как оно из них составляется и даже делимо ли вообще данное число на другое данное, в диалектическом смысле есть не что иное, как рассмотрение числа с точки зрения определенной системы других чисел, так или иначе связанных между собою. Вся нелегкая проблема делимости чисел развивается именно под этой модификацией ставшей сущности арифметического числа.

c) Обратимся к числу как системе полаганий. Хотя актов полагания в числе столько же, сколько в нем и количественных единиц, но логически это совершенно разные категории. И мы сейчас же замечаем, сколь несхожую структуру мы получим, если остановимся именно на актах полагания. Итак, берем те акты полагания, из которых состоит данное число, и пробуем представлять их как возникающие из определенной системы чисел. Акты полагания единиц в числе тем отличаются от его количественного смысла, что они существуют и могут рассматриваться в своей полной изолированности, в то время как количество, будучи смыслом числа, обязательно берется как целое, как некая неделимая единичность, вне которой оно рассыпается и теряет свой смысл, т.е. перестает быть смыслом числа. Каждый акт полагания имеет значение сам по себе и, даже все вместе взятые, они остаются (как таковые, вне своего смысла) полной дискретностью. Поэтому привлечение некоей новой системы чисел для характеристики актов полагания, составляющих данное число, нисколько не затронет его количественно-смысловой значимости, а только произведет изменение в них как именно в них. Но что же это значит – произвести изменение в актах полагания как актах полагания? Это значит производить из них тот или иной отбор и располагать их в том или ином порядке. Раз количественная сторона числа остается без внимания, то остается только так или иначе комбинировать входящие в него акты полагания, или единицы. Другими словами, здесь мы наталкиваемся на тот отдел математики, который обычно носит название комбинаторики, или учения о соединениях. Мы можем иметь в виду тот или иной выбор элементов, тот или иной порядок элементов, наконец, то или иное объединение выбора элементов с их порядком и получить три общеизвестных типа «соединений» – «размещения», «перестановки» и «сочетания».

Возьмем хотя бы «перестановки». Пусть у нас имеется P элементов, т.е. число P. Отвлечемся от того, что это именно P, а будем только оперировать с входящими в него элементами. И пусть нам скажут, что эти элементы, взятые в таком виде, должны быть составлены соответственно той или другой системе чисел. Какова бы эта система ни была, мы сможем произвести в них изменение именно в смысле того или иного их комбинирования, т.е. определенного отбора и порядка. Никакие иные характеристики нашего числа невозможны, раз мы с самого начала отбросили его чисто количественный смысл. Так с очевидностью вытекает, что комбинаторика есть рассмотрение чисел, взятых только в составляющих их актах полагания, с точки зрения той или иной системы других чисел.

3.

По нерушимому закону диалектики количественный смысл и общечисловые акты полагания объединяются в нечто целое, и мы начинаем говорить о синтезе того и другого, об осмысленном акте полагания числа. Следовательно, число, рассматриваемое как появившееся из целой системы чисел (а значит, и операций), предстает и со всеми своими актами полагания, и со всей своей количественной значимостью. Мы получаем число, которое, во-первых, интересует нас уже само по себе, т.е. чисто количественно. А во-вторых, оно интересует нас как вычисленное на основании определенной системы чисел и, поскольку эта последняя основана на комбинировании актов полагания, как вычисленное на основании комбинаторного принципа. Это соединение числа как непосредственного количества с его комбинаторной исчисленностью есть детерминант.

a) Посмотрим, как определяется детерминант. Берется n2 чисел, которые расставляются в виде следующей квадратной таблицы:

a11, a12, … a1n

a21, a22, … a2n

…

an1, an2, … ann.

В этой таблице aik первым значком – i обозначается номер строки, вторым, k – номер столбца. Составляем всевозможные произведения из всех этих чисел так, чтобы в каждое произведение входило по одному числу из каждой строки и из каждого столбца. Очевидно, мы получим произведение вида

a1pi, a2pi, … anpi,

где p1, p2, …, pn есть определенным образом расставленные числа 1, 2, …, n, причем число этих «перестановок», как известно, будет равно 1·2·3·…·n = n! Если в качестве основного порядка «перестановки» взять прямую последовательность 1, 2, 3, …, n и под инверсией (беспорядком) понимать то явление, что большее число стоит в перестановке раньше меньшего, то мы получим в одних произведениях четное число инверсий во вторых значках, в других нечетное. Возьмем первые со знаком плюс и вторые со знаком минус. Тогда сумма всех этих произведений и образует детерминант n-го порядка. Обозначая через [p1, p2, …, pn] число инверсий в перестановке p1, p2, …, pn мы можем определить указанный детерминант как

Σ(p1, p2, …, pn) (–1)[p1, p2, …, pn] a1p1, a2p2, …, apn.

Если имеется детерминант второго порядка:

a11, a12

a21, a22

то он равен a11a22 – a12a21. Здесь число, равное детерминанту, состоит из алгебраической суммы двух произведений, из которых оба имеют первыми значками основную перестановку, т.е. (1, 2), а вторыми значками – две возможные тут перестановки из двух элементов – (1, 2) и (2, 1), причем второе произведение как содержащее инверсию во вторых значках (2, 1) взято с минусом. То же самое легко усматривается на детерминанте 3-го порядка, который, очевидно, будет равен следующей алгебраической сумме произведений:

a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 – a11a23a32 – a12a21a33 – a12a22a31.

Таково обычное определение детерминанта.

b) Что же мы тут усматриваем с точки зрения категориальной структуры? Мы находим прежде всего, что некое число (которому равен детерминант) составлено здесь из некоей системы чисел, рассмотрено в свете этой системы, вычислено при ее помощи. Значит, уже по одному этому детерминант вполне правильно отнесен нами к категории ставшей сущности арифметического числа. Всматриваемся, что же это за система чисел и как она составлена. Оказывается, наше число представлено здесь