Диалектические основы математики - Алексей Федорович Лосев

стягивания разных становлений в одно, едино-направленное становление. Потому радикал (√) есть смысловая энергия, энергия субстанциального роста одного становления в другом. И т.д. Этой энергийности не было в числовой типологии и не будет в комбинаторно-матричном исчислении.

4.

Важно упомянуть здесь еще о трех законах арифметических действий – ассоциативном, коммутативном и дистрибутивном. Прежде всего необходимо ясно понимать, что сами действия от этих законов совершенно не зависят. Раз коммутативный закон, напр., в одних случаях применим к умножению, в других неприменим, то ясно, что о самом умножении нужно говорить вне всякой зависимости его от закона коммутативности. Так мы и делали. Сначала нужно было вывести самые действия, а потом уже говорить об их необязательных законах.

Что же касается теперь самих этих законов, то они возникают на ниве дальнейшего углубления самой категории становления, из которой появились и самые действия. Именно, когда мы говорим о самих действиях, мы, в сущности говоря, рассматриваем голое становление с точки зрения не становящихся, т.е. смысловых, т.е. внутри-эйдетических, категорий. Или, точнее говоря, мы рассматриваем здесь эти последние с точки зрения их раздельного воплощения и становления. Но ничто не мешает нам идти и дальше. Уже получивши данное действие, мы можем внутри него наблюдать разные становления, т.е. разные направления действия. Для этого придется самое действие считать уже не становящимся, а чем-то устойчивым, ставшим и в его пределах судить о значимости отдельных направлений счета. Так мы и произвели дедукцию трех законов счета в § 65, к которому и надо отослать забывчивого читателя. Если все действия и все законы счета in nuce заложены уже в типе числа, т.е. на стадии идеальной единораздельности числа, то сфера становления развернет эти действия во всей их конкретной структуре, а сфера ставшего развернет и все законы счета, применимые в этих действиях.

5.

Теперь мы у новой грани. Арифметические действия нами изучены. Получены они как синтез натурального ряда, или счета, и числовой типологии. Числовой тип погрузился в становление, в счетность, и мы увидели, из каких действий счета он состоит. Но мы могли бы это становление интенсифицировать и дальше. И если бы мы это сделали, мы заметили бы, что новое становление уходит уже не на конструирование арифметического действия, а уходит на что-то другое. А именно, поскольку самое-то действие уже конструировано и его энергийная природа оформлена, дальнейшее становление может наброситься только на самое же действие, на его смысловую субстанцию, на самую его категорию. Это значит, что арифметическое действие перестанет существовать как таковое, а перейдет в свое отрицание, в свое инобытие. Оно распадется, и вместо того становления, из которого оно вырастало, оно создаст распавшееся становление, принципиально превратится в устойчиво-ставшее. Но это будет значить, что арифметические действия превратятся в комбинаторно-матричное исчисление.

IV.

КОМБИНАТОРНО-МАТРИЧНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

(СТАВШАЯ СУЩНОСТЬ ЧИСЛА)

§ 120.

Отношение, пропорция, ряд

1.

Категория арифметического действия образована по типу категории становления. Одно становление, более простое, есть натуральный ряд чисел, монотонный счет; другое становление, более сложное и по-разному скомбинированное, есть разно-направленный счет, или арифметическое действие. Но становление где-нибудь останавливается, чтобы быть определенным, а не беспредельным и слепым, бесцельным; оно превращается в ставшее, давая устойчивый результат. Так и арифметическое действие останавливается, приходя к определенному результату, превращается в ставшее. Тогда образуется новая возможность – перебегать по отдельным этапам становления в пределах устойчиво-ставшего. Покамест становление неопределенно развивалось все дальше и дальше, наш взор следовал за ним без оглядки; и потому проходимые этапы становления совсем никак не фиксировались. Но вот мы положили точный предел для нашего становления. Сейчас же образовалась возможность многократного перебегания в разных направлениях по пути совершившегося становления, и мы теперь твердо фиксируем отдельные вехи этого последнего как устойчивые, как вполне неподвижные.

2.

Но только ли это фиксация неподвижных этапов становления? Если бы мы тут имели только ряд чисел, никак между собою не связанных, можно ли было считать [это] результатом становления? Напр., пусть мы делили 10 на 2 и получали в частном 5. Это 5 есть результат деления, та граница, за которую мы дальше не идем и которая полагает предел для нашего действия деления. Получивши эту границу, мы теперь фиксируем и пройденные этапы становления, т.е. фиксируем прежде всего 10 и 2, а потом, может быть, и многие другие этапы, если процесс получения частного был достаточно сложный. Можно ли сказать, что 10, 2 и 5, взятые сами по себе, есть результат становления, т.е. ставшее? Хотя эти числа и есть нечто устойчивое и неподвижное, они все же не есть ставшее в результате того становления, которое называется операцией деления. Чтобы данный ряд чисел был ставшим именно в этом смысле, им необходимо фиксировать на себе след совершившегося через них становления. Эти числа уже не могут тут браться сами по себе, по своей изолированной количественной значимости. Они должны, будучи устойчивыми, нести на себе некий подвижный образ становления. Только тогда они и будут именно ставшим, когда в них окажется два плана: один – это они сами в своей неподвижности; другой – это проходящая через них стихия становления. Только это впервые и будет значить, что арифметическое действие осуществилось, т.е. перешло в свое ставшее и в свете своего результата представило все пройденные им (для достижения этого результата) числовые этапы.

3.

Что же такое это ставшее как эффект распадения арифметического действия на несколько чисел, представленных в свете достигнутого этим действием результата? Это ставшее есть то, что называется в математике отношением и – далее – пропорцией.

Когда мы имеем отношение (а виднее это на пропорции), то у нас не просто ряд чисел, взятых в своей непосредственной количественной значимости. Это – числа, которые между собою как-то связаны. Как же они связаны? Они связаны именно тем результатом, который бы получился, если произвести над ними определенное действие. Эти устойчивые числа несут на себе что-то подвижное и неустойчивое, что само по себе вовсе не связано обязательно только с этими числами. Пусть мы имеем пропорцию:

a/b = c/d = e/f = g/h …

Что это значит? Это значит, что мы имеем, во-первых, ряд неподвижных чисел (числители и знаменатели этих дробей), а, во-вторых, эти числа поставлены здесь между собою в такую зависимость, что они несут на себе образ одного и того же арифметического действия, т.е. одного и того же числового становления. Вот это-то и есть наше ставшее, потому что только здесь мы