Диалектические основы математики - Алексей Федорович Лосев

в отношении первого. Иначе будет в умножении, где множимое как раз берется в виде неделимого целого и повторяется в новом инобытии, которое есть нечто внешнее в отношении самого множимого. В сложении речь идет пока о внешнем сопряжении инобытия слагаемых. Сначала берется внутреннее инобытие шестерки, т.е. ее счетная составленность из шести разных единиц и необходимость перехода внутри нее от одной единицы к иной, а от этой иной еще к дальнейшей иной и т.д. вплоть до шести. Затем то же самое берется и относительно другого слагаемого – четверки. И наконец, – это и есть самое главное – одна инобытийность (та, которая внутри шестерки) приравнивается, в смысле именно внешней инобытийности, к другой (той, которая внутри четверки). Внешнее приравнение обоих инобытийностей и превращение их в единую инобытийную последовательность и есть сущность сложения и вычитания.

f) Во всем остальном сложение и вычитание ничем не отличаются от обыкновенного счета, как и самый счет ничем существенно не отличается от числа как такового. Иметь какое-нибудь число – значит считать в пределах этого числа. Основная функция числа есть функция разъединения и соединения, т.е. прежде всего счета. Поэтому число как число везде и всюду действует совершенно одинаково – разъединяя, различая и объединяя, отождествляя, т.е. прежде всего производя и обусловливая счетную сторону бытия. Поэтому можно не говорить специально о счетной функции числа в операциях сложения и вычитания, а достаточно просто говорить о чисто числовой функции, или о чисто смысловой функции числа.

3.

Итак, сложение и вычитание есть функция числа в условиях внешнего взаимоотождествления его внутри-инобытийных элементов. Тут делается диалектически понятным и то «равноправие» слагаемых, с которого мы начали характеристику этих действий. «Равноправие» необходимо здесь именно потому, что оно-то и обусловливает собою взаимоприспособленность двух (или нескольких) инобытийных рядов, когда оказывается возможным объединить их в одну и целостную инобытийную последовательность. Однако это равноправие, по установленному нами выше принципу, не может мыслиться как нечто пассивное и неподвижное. Само число есть всегда смысловая энергия, ибо оно всегда есть акт различения и отождествления, разъединения и объединения отдельных элементов бытия; и невозможно мыслить пятерку без возможности и необходимости взаимоперехода одной единицы в другую в пределах этой пятерки. Но если число есть всегда смысловая энергия, то и его внутреннее инобытие, обусловливающее самую возможность счета, т.е. возможность самого числа, так же есть некоторая смысловая энергия. А поэтому и результат сложения и вычитания есть всегда результат смысловой энергии определенным образом функционирующего инобытия чисел.

4.

a) Все эти рассуждения получат гораздо большую стройность и ясность, если мы применим к сложению и вычитанию тот структурный принцип, о котором говорилось в предыдущем параграфе, п. 4. Именно, каков принцип сложения и вычитания и как он структурно оформляется!

Принцип этот есть отождествление или различение нескольких раздельных, но в то же время непосредственно смежных становлений. Пусть это отождествление (различение) есть для нас некое самостоятельное бытие. Что это значит? Это значит, что мы приставляем, приделываем, как бы прикрепляем одно становление к другому. Было 6 единиц, и было 4 единицы. Теперь же мы приклеиваем становление 4 единиц к становлению 6 единиц. Это и есть бытие изучаемого отождествления.

Далее должно быть его инобытие. Это значит, что должен быть снят самый вопрос об отождествлении. Мы соединили конец одного становления с началом другого становления так, что получилось одно и единственное становление, и отныне мы уже забыли и о четверке, и о шестерке. Инобытие отождествления есть тот продукт отождествления, в котором уже невозможно различить отождествляемого.

Дальше мы – в сфере становления; это то, что открылось перед нами после отождествления. Мы должны теперь пройти по этому открывшемуся перед нами общему направлению. Мы должны начать считать полученные единицы, потому что счет и есть в данном случае становление. Но становление должно где-нибудь кончиться, завершиться, почерпаться, превратиться в ставшее. Ставшее, очевидно, есть сумма, самый результат сложения.

Но самый интересный вопрос в том, как же понимать выразительную форму сложения и вычитания. Что такое сложение и вычитание как выражение, как смысловая энергия, как эманация? С одной стороны, это должно быть чем-то самым основным, самым глубоким в сложении и вычитании, даже их источником; с другой стороны, оно должно быть чем-то максимально внешним, вышедшим наружу и силой, оформляющей и определяющей не только данный акт сложения или вычитания, но и все вообще возможные случаи этих действий. Что же это за энергия и что за эманация? Это есть самый «плюс» или «минус», самая энергия складывания и вычитывания, – наиболее глубокое и принципиальное и наиболее внешнее, актуально определяющее в этих действиях. В этих категориях плюса и минуса арифметическое действие, именуемое сложением и вычитанием, достигает своей последней диалектической зрелости, и все логические категории, из которых сплетаются сложение и вычитание, тут максимально сконденсированы и заострены.

b) Называя энергию числа смысловой (чтобы не подумали здесь об электрической, тепловой и пр. энергиях) и относя отождествление к сложению, а различение к вычитанию, мы можем выставить следующие диалектические формулы обоих рассматриваемых действий.

Сложение есть смысловая энергия отождествления внешне-инобытийных, но в то же время и непосредственно-смежных становлений.

Вычитание есть смысловая энергия различения внешне-инобытийных, но в то же время и непосредственно-смежных становлений.

c) Когда мы берем 6 + 4 = 10, то происходит внешне-инобытийное отождествление внутри-инобытийной последовательности шестерки (или просто – последовательности, пути последования внутри шестерки) с внутри-инобытийной последовательностью четверки. Когда же мы берем 10 – 4 = 6, то внутри десятки, или в плане внутри-инобытийной последовательности десятки, мы производим различение одной формы от другой, в данном случае – различение четверки и шестерки. В сложении энергия числа есть энергия перехода от различения к отождествлению внешне-числовых форм инобытия; в вычитании же энергия числа есть энергия перехода от отождествления к различению или, точнее, от отождествленного, самотождественного – к различенному, саморазличающемуся. Сложение стягивает разные куски инобытия, превращая их из внешних в единое внутреннее содержание числа, сплавляя их в один кусок и превращая несколько прямых линий становления в одну прямую; вычитание же разрывает цельное и самотождественное инобытие внутри числа, раскалывает его на отдельные куски, устанавливая, что одна форма отлична от другой в пределах этого инобытия.

В сложении и вычитании остается незыблемым само основание числа, тот экран, на котором выступают числа. Это как бы единый фон, на котором числа то появляются, то исчезают, в то время как самый фон остается незыблемым. Тут все числа глубоко индивидуальны и каждое имеет полнейшее право на свою индивидуальность. Сложение и вычитание есть пересчет всех