Диалектические основы математики - Алексей Федорович Лосев

и простейшее, что может появиться с точки зрения диалектики, – это оставить их в такой взаимосопоставленности и только пробовать объединять или разъединять их по их смыслу, т.е. по их количественному содержанию. Отбросим эти числа как факты, как некоторые акты полагания, потому что по актам полагания, по их фактической положенности мы примем их в их непосредственном взаимоследовании. Но зато мы будем судить о них в таком раздельном, но непосредственно-смежном положении – об их различии и об их тождестве. И что тогда получится, какой тогда возникнет результат? Это отождествление или различение двух раздельных, но непосредственно-смежных становлений есть сложение или вычитание.

Во-вторых, совсем необязательно оставаться при таком взаимо-противопоставлении разных отрезков общечислового становления, да притом еще с таким внешне-субстанциальным противостоянием, когда оба они во всех смыслах чужды один другому и определенно отрицают один другого. Можно поставить вопрос: нельзя ли их сблизить между собою, нельзя ли их различать и отождествлять так, чтобы эти различения и отождествления относились не просто к их смыслу без всякого внимания к их несовместимости по факту, но так, чтобы этим затрагивалось и их фактическое существование, чтобы не только смысл их бытия, но и бытие их смысла стало в той или другой мере единым?

Диалектика знает много разных видов такого взаимопроникновения бытия и инобытия. Самое элементарное – это то, когда бытие просто повторяет себя в инобытии. Несомненно, это гораздо большая близость между бытием и инобытием, чем в том случае, когда они противостоят одно другому как несводимые друг на друга факты. Тут в инобытии, оказывается, уже нет ничего такого, чего не было бы в бытии, потому что единственная функция инобытия в таком случае – это повторять бытие, воспроизводить бытие. Ясно, что тут одних категорий тождества и различия будет мало. Тут надо реально перейти из бытия в инобытие, чтобы воспроизвестись в этом последнем. Тут нужны, очевидно, категории движения и покоя. И если в первом случае бытие и инобытие оказывались одно в отношении другого внешними, то тут, когда одно воплотилось на другом, они связаны уже внутренне-инобытийными связями. В том результате, который получен после воспроизведения бытия в инобытии, последнее стало для бытия чем-то внутренним, вошло в его плоть и кровь. Отождествление между бытием и инобытием стало тут не внешне-инобытийным, но внутренне-инобытийным. И вот это взаимоотношение нескольких становлений, когда они переходят друг в друга в порядке подвижного покоя, есть умножение и деление.

В-третьих, необходимо мыслить и еще дальнейшее, уже окончательное взаимопроникновение двух сопоставленных отрезков становления. В самом деле, функции рассмотренного нами инобытия ограничивались у нас только простым воспроизведением бытия; одно становление воспроизводило другое. Но не есть ли это умаление против инобытия? Ведь ясно, что в данном случае инобытие выступает только как некая фактическая сила воспроизведения чего-то другого, внешнего в отношении себя самой; и оно совсем не выступает здесь как конкретная индивидуальность, как некое смысловое содержание. Другое дело было бы, если бы оно так отождествилось с бытием, что вложило бы в него и мощь своего факта, т.е. воспроизвело бы его со всем его содержанием, и мощь своего смысла, т.е. вложило бы в воспроизводимое им содержание бытия и свое собственное содержание. Это возможно только в том случае, если бытие будет воспроизводиться не вообще, но и в каждом отдельном своем моменте, когда его целое будет присутствовать в инобытии не просто как единый неделимый факт, но когда оно будет содержаться и в каждом отдельном моменте его инобытийного тела, полученного им как раз от инобытия при своем воспроизведении в нем. Тогда инобытие будет участвовать здесь не просто как голый факт, но и все его содержание воспроизведет на себе некую целостность, неразрывную с воспроизводимым целым как таковым. Другими словами, из механизма оно станет организмом и тем спасет себя не как факт, но и как смысл, и не как механический смысл, но и как живую материю. Это взаимоотношение нескольких разных становлений, когда они переходят друг в друга в порядке субстанциального отождествления, есть возведение в степень или извлечение корня. Таковы принципы арифметических действий.

c) Наконец, рассмотрим реальную структуру арифметических действий или, точнее, принцип структуры арифметических действий. Только что мы рассматривали принцип арифметических действий как некоторых категорий диалектики. Но арифметическое действие, как мы сказали в п. 3, не есть только категория. Оно есть еще и определенная живая структура, живой образ. Спрашивается: каков же принцип построения этой структуры и этого образа?

Поскольку сейчас нам уже не надо выводить самих принципов арифметических действий (они уже выведены) и не надо, следовательно, фиксировать спецификум каждого отдельного действия, мы можем (и должны) применить здесь только нашу общедиалектическую схему всякой структуры вообще, и прежде всего числовой структуры (§ 31). Другими словами, каждое действие будет для нас каким-то бытием, переходящим в свое инобытие и забывающим себя в алогическом становлении, после чего оно вдруг прекращает свое беспредельное становление, останавливается, превращается в ставшее, и мы начинаем видеть его смысловые струи, изливающиеся на новое, теперь уже на всякое инобытие, т.е. начинаем видеть его образ, его выраженную форму, его энергийно-эманативный образ. Никакого иного принципа для структуры арифметического действия мы не знаем в настоящем исследовании, поскольку он был проведен еще в самом начале, в сфере первоначальных установок самого понятия числа вообще. Нет оснований менять его и для отдела об арифметических действиях.

5.

Относительно арифметических действий надо особенно бояться традиционной математической самоуверенности. Действительно, что может быть проще сложения и вычитания, умножения и деления? Но эта-то простота и соблазняет. Думают, что тут и понимать-то нечего. Между тем проблема арифметических действий, я бы сказал, – одна из довольно тонких проблем диалектики. И приходится очень долго и очень мучительно размышлять на разные лады, чтобы добиться ясной диалектической систематики в этой проблеме. Можно даже утверждать, что на таких-то проблемах, которые не загромождены никаким математическим аппаратом, легче всего проверять достоинства и недостатки применяемой у нас методологии. В математически сложных вещах еще можно сомневаться, достаточна или нет эта методология. Но там, где математика не представляет трудностей, а самая конструкция оказывается центральной по своей значимости (а таковы именно и есть арифметические действия), там яснее всего ценность или применимость данной методологии.

Перейдем теперь к самому предмету.

§ 116.

Сложение и вычитание

1.

Сложение и вычитание характеризуются прежде всего равноправием моментов, из которых они состоят. В то время как, напр., в умножении существенной и основной темой является множимое, множитель же только повторяет