Диалектические основы математики - Алексей Федорович Лосев

собственно трансцедентными, прочие же – гипертрансцедентными.

Тут вспоминается «определение» алгебраического числа: оно является корнем уравнения с целыми коэффициентами. Собственно трансцедентное число есть такое, которое может быть корнем дифференциального уравнения с целыми коэффициентами. Значит, гипертрансцедентное число – это такое, которое не может быть корнем дифференциального уравнения с целыми коэффициентами.

c) Едва ли математики понимают философское значение связи трансцедентности с корнем дифференциального уравнения. Если вспомнить наше учение о трансцедентной иррациональности в ее отличии от алгебраической (§ 110), то мы утверждали, что эта последняя оказывается одномерной, она есть простейшая и, так сказать, одноплановая иррациональность, математически определяемая только простым извлечением корня. Трансцедентная иррациональность – это многомерная, и прежде всего двухмерная, иррациональность. Мы показали на основании признака Лиувилля (§ 111), что трансцедентное число предполагает переплетение двух разных иррациональностей, так как логически мы имеем здесь становление становления. Отсюда и эманационный характер трансцедентности. Это переплетение двух разных иррациональностей привело нас к двухмерной комплексной области. Ведь измерение в пространстве, как мы тоже не раз доказывали (§ 55, 71), есть не что иное, как переход в новое инобытие, т.е. в новую иррациональность (такова плоскость в отношении линии, пространство в отношении плоскости, пространство (n+1)-го измерения в отношении пространства n измерений). Не связана ли эта переплетенность двух иррациональностей в трансцедентном с двухмерно-комплексным ее толкованием и вообще с двухмерно-пространственным или векторным ее толкованием?

Если так, то тогда понятно, почему трансцедентное число, не являясь корнем алгебраического уравнения с целыми коэффициентами, является тем не менее корнем дифференциального уравнения. Ведь последнее, содержа в себе производные, тем самым содержит помимо той простой иррациональности, которая возможна в алгебраической области, еще и другую, особую иррациональность, ту, которую мы получаем в результате дифференцирования, или, вернее, ту, благодаря которой возможен переход от функции к ее инобытию, а затем и к закону инобытийных соотношений между функцией и аргументом, т.е. к производной. Так или иначе, но дифференциальное уравнение обеспечивает двухмерную иррациональность, которой не хватает в алгебраическом уравнении.

d) Но если так, то тогда я спрашиваю себя: а если мне нужна трехмерная или четырехмерная иррациональность, то не значит ли это, что мое трансцедентное число отказывается быть корнем дифференциального уравнения? Другими словами, число гипертрансцедентное не эквивалентно ли числу гиперкомилексному, подобно тому как вещественная степень трансцедентности эквивалентна спирали, а мнимая ее степень – обыкновенному комплексному числу (и получаемой таким образом окружности)? Если это так, то тогда в нашем гиперкомплексном числе мы и получим дошедшую до последней диалектической зрелости и выраженности эманацию трансцедентного, которая зарождается в Эйлеровых тригонометрических выражениях мнимых степеней Неперова числа.

e) Поскольку до сих пор не существует исследования гипертрансцедентных чисел и еще нет указания их точных свойств, поставленный вопрос не может найти для себя того или другого ясного ответа. Если этот ответ будет отрицательным, то это будет значить, что наше учение о гиперкомплексах, отражая по своему содержанию давно известные истины математики (линейные алгебры, всеобщая алгебра) и потому едва ли уязвимое в этом отношении, окажется истиной только диалектического ума, еще не нашедшей своего математического соответствия (если иметь в виду связь гиперкомплексов с трансцедентностью).

6.

a) Так или иначе, но гиперкомплексное число является с чисто диалектической точки зрения самым зрелым, самым сложным и самым развитым продуктом арифметического мышления. Когда мы говорили о внешнем инобытии числа (положительное, отрицательное, нуль), мы еще могли перейти к внутреннему инобытию (целое, дробное, бесконечное). Когда мы обозрели и внутренние, и внешние инобытийные судьбы числа, мы еще могли доискиваться той области, где то и другое совпадает (рациональное, иррациональное, мнимое). Но когда мы вместили в число не только просто его внутренно-внешнее инобытие, но и всякое инобытие, какое только для него возможно, то больше идти уже некуда. Алгебраическое число обобщило все предыдущие типы числа в том смысле, что поставило их лицом к миру с тем безбрежным инобытийно-иррациональным морем, которое их омывает. Оно запретило им бросаться в это море, но оно сделало возможным в него бросаться. Потому оно – только потенция, потенция целости и потенция простой иррациональности. Трансцедентное число уже ринулось в это безбрежное море иррациональности, чтобы его охватить, чтобы его вместить в себя. И вот оно вместило его. Но оно вместило его сразу, целиком, как бы влило в себя, еще не размеривши его и не приведя в полный порядок. Однако тут рождается гиперкомплексное число, которое не только вмещает в себя всю бесконечность инобытийных бездн, но которое превращает ее в стройный, зрительный, фигурно-размеренный космос.

b) Дальше идти некуда. Все типы арифметического числа этим исчерпаны. Тут – последняя зрелость арифметического числа. Поэтому дальнейшее исследование возможно только уже на совершенно новой диалектической ступени, за пределами типов числа вообще. В самом деле, допустим, что число, вместившее в себя бесконечность своих становлений, продолжает вмещать в себя еще дальнейшие свои становления. В этом случае или данное становление вольется в бесконечность уже имеющихся становлений и в ней потонет, – тогда мы останемся при типе числа, который уже нами получен, и никакого нового типа не образуется; или новое становление возымеет совсем новое значение, которое может получиться, если новое становление не просто вместится в данное число, но затронет самую его субстанцию, вовлечет в становление само число настолько, что оно уже перестанет быть самим собою и превратится в новое число. В последнем случае мы, очевидно, покидаем область числа как такового, область тех или иных типов чисел, но переходим к проблемам становления самих чисел или к арифметическим операциям.

Так гибнет тип числа и рождается числовая операция.

§ 114.

Дополнительные замечания к учению о типах числа

1.

Нарисованная в предыдущем диалектическая картина числовой типологии претендует, как и вообще диалектика, только на точность взаимосвязи категорий при определенной заданной точке зрения. При всякой другой точке зрения взаимосвязь будет иная. Нашу взаимосвязь числовых типов можно [обозреть] при помощи следующей схемы.

Перво-принцип = инобытие натурального ряда Внешнее инобытие Внутреннее инобытие Внутренно-внешнее инобытие Бытие Положительное число Целое число Рациональное число Становление (инобытие) Отрицательное число Дробь Иррациональное число: I. a) постоянное; b) переменное; c) непрерывное; II. Прерывное; III. Предел Ставшее Нуль Бесконечность Мнимое (комплексное) число Выразительная форма Алгебраическое число Трансцедентное число Гиперкомплексное число

В основу этой диалектики положен принцип числового типа как принцип инобытия числа, понимая