Диалектические основы математики - Алексей Федорович Лосев

под бытием натуральный ряд чисел. Отсюда – рассмотрение числового типа с точки зрения разных видов инобытия – внешнего, внутреннего и внутренно-внешнего, что зафиксировано в вертикальных колонках схемы. С другой стороны, материал данного «бытия» (натуральный ряд) рассматривается и с общедиалектической точки зрения, которую мы понимаем как триаду, или как тетрактиду, или как пентаду (о возможной многомерности этих построений говорится выше, в § 31). В данном случае, если понимать рассматриваемое здесь инобытие натурального ряда чисел в качестве перво-принципа всех типов числа, то у нас применяется пентада, образец и первообраз которой мы имеем уже в общей теории числа (§ 26). Существенно важен также особый переход от вневыразительных типов числа к выразительным, разъясненный у нас в § 35. Самым важным является здесь то, что, в то время как девять вневыразительных типов представляют собою две стороны диалектической триады (одна – как горизонталь, другая – как вертикаль схемы), выразительная триада является вполне самостоятельным целым, вырастающим на обобщении всех девяти вневыразительных типов, а вовсе не так, как может внешне подсказывать схема, т.е. вовсе не так, чтобы каждая выразительная категория соответствовала только своей вертикали.

2.

а) Предлагаемая диалектика типов числа является диалектикой еще и в том смысле, что при нерушимой взаимосвязи всех категорий (вытекающих, как это и требуется в данном случае, из одного и единственного перво-принципа) она требует полной специфичности каждого типа и полной несводимости его ни на какой другой тип. С этой точки зрения общеизвестные попытки свести все типы числа на целое и положительное число, наиболее резким образцом которых может служить учение Кронекера, заведомо обрекаются для нас на полный неуспех. Л. Кронекер сводит всю математику на теорию натуральных чисел и целых целочисленных функций от неопределенных символов u, v, w… при конечном числе операций[72]. В результате все эти ухищрения сводятся только к новому математическому правописанию, так как фактически нет, конечно, никакой возможности избежать самих логических категорий, лежащих в основе каждого типа. Кронекер рассматривает главнейшие типы числа при помощи т.н. функциональных сравнений. И получается: чтобы избежать слова «минус» в формуле 7 – 9 = 3 – 5, ему надо пользоваться таким функциональным сравнением: 7 + 9x ≡ 3 + 5x (mod x + 1). Но ведь это значит, что обе сравниваемые здесь величины при делении на x + 1 имеют один и тот же остаток. А чтобы убедиться в этом, необходимо реально произвести эти деления, что потребует и употребления операции вычитания. Следовательно, тут мы имеем дело только с иным правописанием, с иными знаками обозначения, а сущность обозначаемого осталась совершенно незатронутой.

b) И для чего понадобилась такая теория? Если Кронекер хочет показать исходный пункт всякого рассуждения о числе, то и без всяких доказательств ясно, что основой всей математики является простой счет, т.е. система натурального ряда (почему мы и называем этот последний бытием непосредственной сущности числа). Не умея считать, нельзя вообще высказать никакого суждения о числе. Если Кронекер хотел дать более строгую и более экономную систему обозначений, то всякому ясно, что употребление плюсов, минусов, знаков дроби, показателей, радикалов и т.д. несравненно экономнее тяжелых обозначений через функциональные сравнения. Эти последние, кроме того, имеют гораздо более широкое значение, которое совершенно излишне для простых категорий отрицательности, дробности и пр. Наконец, если упор на натуральные числа имел целью не просто указать исходный пункт самого понятия и не просто дать другое обозначение для того же самого предмета, а имел целью сделать ненужным самые понятия дробности, иррациональности и т.д., то это можно квалифицировать только как нелепость, изобличающую себя при первом же своем проявлении. Упование на то, что все числа можно «свести» на целые числа, вредно еще и тем, что оно до известной степени преграждает анализ тех категорий, которые заложены в основе разных типов числа, понимаемых как специфические индивидуальности. Тут надо уметь не столько «сводить» одно на другое, сколько «выводить» одно из другого.

3.

Несколько иначе смотрит на дело К. Вейерштрасс, тоже носившийся с идеей сведения всех чисел на целые числа. Правда, Вейерштрасс в этом смысле рассуждает гораздо сдержаннее. Он вовсе не хочет отменять самые понятия разных видов числа и считает, напр., иррациональность столь же реальной для мысли, что и все другие. Не хочет он также и всякие арифметические действия заменять действиями над целыми числами. Насколько можно понять эту теорию, он просто занят психологическими вопросами о том, как мы приходим к представлению о разных типах числа. Если это действительно так, то уже по одному этому учение Вейерштрасса не должно было бы обсуждаться в нашем сочинении. Но ясно и то, что Вейерштрассу меньше всего хотелось быть тут психологом. Поэтому – скажем несколько слов о Вейерштрассе.

О целом числе Вейерштрасс рассуждает не хитро. Вокруг нас мы находим явления, говорит он, которые обладают общими признаками. В каждой такой группе явлений мы различаем несколько единиц. Отсюда – понятие о целом числе. Взявши два таких числа, мы можем взаимно сопоставить входящие в них единицы. Когда эти элементы друг другу соответствуют, мы говорим, что числа равны; когда в одном числе остаются лишние элементы, мы говорим, что оно больше другого, а это последнее – меньше. Здесь знаменитый математик говорит, конечно, пустяки: целое число там, говорит он, где оно целое.

О дробном числе – рассуждение несколько сложнее. Кроме «главной единицы», говорит он, существуют и многие другие единицы – двойка, тройка, десятка, сотня, миллион, это тоже некоторого рода единицы. Покамест мы берем числа, составленные из «главной единицы», мы можем иметь только целые числа. Но, вводя другие единицы и сравнивая новые единицы со старыми, мы получаем представление о дробных числах. По этому поводу можно только удивиться, почему не появляется представление о дробной части, когда мы имеем одну цельную группу нескольких предметов, и почему для этого необходим переход к другой группе или к другим единицам. Кроме того, назвать десятку единицей можно только при том условии, что уже имеется представление о целом и дробном, так что здесь Вейерштрасс утверждает только то, что дробное число возникает тогда, когда оно дробное.

Отрицательное число возникает, по Вейерштрассу, тогда, когда кроме основного элемента e вводится «противоположный» элемент e′, удовлетворяющий равенству a + e + e′ = a (где a состоит только из элементов e). Отсюда e + e′ = 0; и если одну из этих величин назвать положительной, то другая будет отрицательной. Тавтологичность этого определения не нуждается в комментарии.

Немногим лучше обходится Вейерштрасс с