Диалектические основы математики - Алексей Федорович Лосев

множимое известное число раз и в результате появляется опять-таки прежнее же множимое, хотя и в несколько раз увеличенное, – в сложении и вычитании нет такого неравенства смыслового содержания чисел, и последние здесь существенно равноправны. Если сумма складывается, напр., из трех слагаемых, то все три слагаемые хотя и могут отличаться между собою чисто количественно, но это различие не идет дальше чистой количественности. Эти слагаемые как бы лежат на одной плоскости; и процесс сложения только в том и заключается, чтобы взять эти слагаемые вместе, взять в таком виде, как они даны, применивши к каждому из них совершенно одинаковый метод. В умножении множимое и множитель входят с совершенно различным смысловым содержанием; множитель обозначает совсем не то, что обозначает множимое, – помимо уже чисто количественного их различия. Точно так же и в вычитании операция над числами происходит как бы на одной и той же плоскости. Можно сколько угодно складывать и вычитать; и все прибавляемые и вычитаемые единицы будут совершенно равноправны по своему смысловому и оперативному содержанию. Другими словами, сложение и вычитание не переводят чисел в новое инобытие, новое – по сравнению с теми их элементами, которые уже даны с самого начала.

В сложении и вычитании дано только основное, внутри-числовое (если иметь в виду сумму) инобытие, без которого не мог бы осуществиться и самый счет, а именно чисто количественное инобытие (хотя самые слагаемые одно в отношении другого внешне-инобытийны). Никакого другого инобытия не требуется для сложения и вычитания чисел. Поэтому если понимать число и счет, необходимый для числа, как тезис, то сложение и вычитание не переходят ни в какой антитезис; и вся картина разыгрывается в пределах счетного тезиса.

2.

Что же происходит в пределах этого числового и счетного тезиса и что делается с этими равноправными числами, из которых составляется сумма или разность?

a) Ясно, что сложение и вычитание, равно как и все прочие действия, суть некоторые функции числового смысла, которые надо назвать силами, или энергиями. Сложение и вычитание есть прежде всего некий смысловой акт, активная направленность к определенному результату. В процессе складывания и вычитания мысль нечто активно полагает, активно разделяет и соединяет, суммирует. В этой активной напряженности сложение и вычитание ничем еще пока не отличаются от прочих действий, но с этого общего положения необходимо начать.

Сложение и вычитание есть некая смысловая энергия.

Точнее сказать, все арифметические действия суть не смысловая энергия, но смысловое становление, как это дедуцировано выше в проблеме натурального ряда. Однако становление в данном случае, как мы уже знаем, конструирует только самую категорию арифметических действий. Конкретное же выполненное действие, напр., решенная задача, есть уже такое становление, которое определенным образом стало и в этом своем ставшем виде определенным образом оформилось. Тут уже переход на ту ступень, которую в общей диалектике мы именуем смысловой энергией.

b) Какая же это смысловая энергия? Это не есть просто энергия счетной природы числа, ибо, сосчитывая единицы в числе, мы не нуждаемся в понятии плюса или минуса, равно как и суммы или разности. С другой стороны, смысловая энергия, рождающая счет, налична и во всех других действиях. Нельзя также сказать, что это есть энергия объединения или разъединения. В умножении, напр., безусловно содержится элемент объединения единиц, полученных в результате увеличения первоначально заданного множимого. Решительно во всякой числовой операции счет, а след., объединение и разъединение единиц содержится или в чистом виде, или в виде некоторой своей модификации. Какая же разница между простым пересчетом единиц, напр., в 10, и между складыванием 6 + 4 = 10?

c) Разница эта заключается в следующем. Когда мы просто считаем от 1 до 10, то, переходя от 6 к 7, мы совершенно не задаемся вопросом о том, можно ли присоединить к 6 еще одну единицу и перейти к 7. Необходимость и возможность этого перехода уже заранее обусловлена для нас самим понятием натурального ряда и понятием счета, который строится именно как постоянное и бесконечное увеличение любого числа на ту или иную единицу Когда же мы складываем 6 + 4, то при переходе от 6 к 7 мы необходимо ставим вопрос: можно ли в данном случае переходить от 6 к 7 и далее? Если стоит плюс, то такой переход возможен; если же его нет, то мы еще не знаем, к какому числу надо переходить и надо ли вообще переходить. Итак, плюс есть смысловая энергия числа, впервые делающая возможным переход от одной единицы к следующей за ней, т.е. внешней по отношению к ней.

d) Но почему факт перехода делается возможным? Он делается возможным потому, что в сложении мы поставляем складываемые единицы на одной плоскости, приравниваем путь пересчета единиц внутри одного числа к пути пересчета единиц внутри другого числа, делая один путь продолжением другого пути, хотя они внешне-инобытийны один в отношении другого. Мы ничего не меняем в самих складываемых числах, ни в их количественном содержании, ни в какой бы то ни было другой их интерпретации. И все-таки нечто новое мы устанавливаем, когда решаемся в вышеуказанном примере от 6 перейти к 7, чтобы совершить операцию 6 + 4 = 10. Если это новое не касается ни количественной стороны чисел, ни их общей интерпретации, то оно может касаться только места, взаимного положения этих чисел, а именно мы вдруг узнаём, что можно и нужно от 6 перейти к 7, от 7 к 8 и т.д. до 10. Но положение, или место, чего-нибудь не есть само это «что-нибудь». «Что-нибудь», или «нечто», находится «где-нибудь»; и чтобы находиться «где-нибудь», должно [быть] какое-нибудь иное, инобытие – в отношении того, что находится или помещается где-нибудь. Чтобы идти, должен быть путь, пространство, по которому можно было бы идти; и это пространство необходимо должно быть чем-то иным, а не самой вещью, движущейся по пространству, ибо иначе невозможно было бы и само движение. Стало быть, знак «плюс» указывает на отождествление инобытия, по которому движется одно слагаемое, с инобытием, по которому движется другое слагаемое.

e) Надо четко представлять характер функционирующего здесь инобытия. Инобытие налично как внутри самого числа, так и вне его. Есть ли то инобытие, которое необходимо сложению и вычитанию, внутри-числовое или вне-числовое? Когда мы складываем 6 + 4 = 10, то о каком инобытии идет речь, когда мы мыслим себе шестерку? Мы тут пересчитываем единицы внутри самой шестерки и не нуждаемся в том, чтобы всю шестерку помещать в какое-то новое инобытие. Новое [ино]бытие дается отдельно и притом внешне