Диалектические основы математики - Алексей Федорович Лосев

OP : OM = OM : 1,

откуда

OP = rr′; ∟POQ = ∟PON + ∟NOQ,

что при ∟MOQ = φ и ∟NOQ = φ′ и, ввиду подобия указанных треугольников, при ∟PON = ∟MOQ = φ дает

∟POQ = φ + φ′.

Другими словами: чтобы умножить одно комплексное число на другое, надо модули их перемножить, а аргументы сложить. Или: при умножении одного вектора на другой его абсолютная величина растягивается во столько раз, сколько единиц в абсолютной величине другого вектора, а сам он вращается в положительном направлении на тот угол, который характеризовал направление этого другого вектора. Умножение комплексных чисел, следовательно, есть соединение растяжения с поворотом.

b) Точно то же самое мы находим и в кватернионах. Нетрудно представить себе усложнение этого поворотного растяжения для случая трехмерного пространства, а затем и для четырехмерного пространства. Аналогично поведению модулей в комплексном умножении можно утверждать, что тензор произведения двух кватернионов равняется произведению их тензоров (это легко доказывается путем введения сопряженных кватернионов). А отсюда, припоминая из аналитической геометрии выражение для расстояния точки от начала координат равного √(x2 + y2 + z2 + w2), мы можем сказать, что уравнение в кватернионах q′ = pq представляет собою не что иное, как определенное линейное преобразование точек x, y, z, w четырехмерного пространства в точки x′, y′, z′, w′, дающее в результате вместо одного вектора другой и умножающее указанное выражение для расстояния точки от начала координат на один и тот же постоянный множитель τ = √(a2 + b2 + c2 + d2). Тензор, таким образом, вполне характеризует растяжение отрезка, вступающего в четырехмерное пространство. Кроме того, из аналитической геометрии известно, что линейное преобразование x, y, z, при котором x2 + y2 + z2 является инвариантом расстояния от начала 0, есть не что иное, как вращение или зеркальное отражение. Не иначе, следовательно, и в четырехмерном пространстве, где таким инвариантом будет x2 + y2 + z2 + w2. Стало быть, когда линейное преобразование помножает x2 + y2 + z2 + w2 на некоторый множитель τ2, то мы и получаем вращение вместе с растяжением всего пространства до τ-кратных размеров.

Если мы станем изучать результат нескольких вращений, то уже чисто зрительно будет заметно, какое значение имеет последовательность вращений. В зависимости от разного порядка вращений будет, вообще говоря, получаться и разное «тело вращения». Но сложение вращений, как мы сейчас видели, эквивалентно умножению кватернионов. Отсюда становится понятной и столь характерная для кватернионов некоммутативность умножения. Она, видим мы теперь, есть не что иное, как зависимость суммы сложения вращений от порядка слагаемых. И, таким образом, отвлеченный аналитический признак кватерниона получает тут вполне понятное и убедительное истолкование.

4.

Значение кватернионов получит для нас еще большее значение, если я укажу на ближайшую связь их с популярной ныне теорией относительности. Хотя Минковский исходил в своих рассуждениях о поворотном растяжении четырехмерного пространства совсем из другой терминологии (именно из матриц Кэли), Ф. Клейн[70] простейшим образом показал, что знаменитые «Лоренцовы преобразования», лежащие в основе теории относительности, есть не что иное, как вращение некоторого пространства, изобразимое притом весьма удобно при помощи кватернионов.

Хотя было бы и неуместно пускаться здесь в эти выкладки, все же привлечение их для теории кватернионов значительно обогащает наше представление о гиперкомплексном числе, и можно только рекомендовать усвоить эти в общем простейшие выкладки у Клейна всякому желающему усвоить себе философию гиперкомплексного числа вообще.

5.

a) В заключение мы затронем один вопрос, который, возможно, уже возник у внимательного читателя, в особенности если он усвоил нашу первоначальную дедукцию гиперкомплексного числа (§ 113). Мы утверждаем, что гиперкомплексное число есть наивысшая форма арифметического числа, диалектически включившая в себя и претворившая в себе и алгебраическое, и трансцедентное число. Вместе с тем гиперкомплексное число есть энергийно-эманативное выражение вообще арифметического числа. Возникает вопрос: откуда же видно, что гиперкомплексное число есть энергийно-эманативное выражение числа? Если оно продолжает быть эманацией трансцедентности, являясь только наиболее оформленным и выраженным его оформлением, то где же в предыдущих наших рассуждениях указание на эту трансцедентность? Такой вопрос получает остроту еще и оттого, что в области самой трансцедентности мы пришли к более зрелой ее форме, к мнимой степени трансцедентности и констатировали тождество ее с двухмерным комплексным числом. Потом, чтобы завершить диалектику числа, мы перешли к четырехмерному комплексному числу, назвавши его гиперкомплексным числом, но мы ничего не сказали о том, какая же остается тут связь с трансцедентностью. Ведь если говорить о четырехмерном комплексном числе как о таковом, без всякой связи с трансцедентностью, то ведь его мы свободно могли бы вывести значительно раньше, не входя ни в какие учения о числах алгебраических и трансцедентных, т.е. непосредственно после учения о мнимых числах § 107. Это было бы и естественно: сначала говорить о двухмерных комплексах, потом о трехмерных, четырехмерных и т.д. Следовательно, если гиперкомплексные числа у нас появились после трансцедентных, то должно быть установлено четкое отношение категории гиперкомплексов к трансцедентности.

b) Однако в этом вопросе я как раз не чувствую себя уверенно и не могу предложить читателю четкой и совершенно ясной мне математической концепции. Дедуцируя данную выше категорию гиперкомплексного числа, я в значительной мере шел по пути, который указывался мне интуицией, и совершенно не имел точных математических аналогов. Все же у меня есть некоторое предположение о связи гиперкомплексов с трансцедентными [числами], и, хотя я не настолько силен в математике, чтобы его доказать, я все же предлагаю его на обсуждение.

Д.Д. Мордухай-Болтовский в указанной выше работе[71] о трансцедентных числах из общей области трансцедентности выделяет трансцедентные числа, которые он называет собственно трансцедентными. Замечая, говорит он, что e можно определить как yx=1, если y′ = y, причем yx=0 = 1; что lg a, где a есть алгебраическое число, можно представить как yx=0, если xy′ = 1, причем yx=1 = 0 и т.д. и т.д., – мы можем считать, что трансцедентные числа вообще подходят под формулу N = ya=c, где c рационально, а y определяется условием f(x, y, y′, … y(n)) = 0, причем f есть полином с рациональными, или, что то же, с целыми, коэффициентами от (x, y, y′, … y(n)). Такого рода трансцедентные числа являются