Диалектические основы математики - Алексей Федорович Лосев

чем тут дело? И какое это может иметь для нас значение? Это, несомненно, имеет для нашей теории огромное значение. И понятным оно может сделаться для нас только в том случае, если мы будем иметь в виду наше общее учение о трансцедентности. Трансцедентное, учили мы, уже включает в себе все свои инобытийные возможности; следовательно, никакое инобытие не может внести в него никакого изменения. Поэтому, взявши эманационный аспект трансцедентного, т.е. ex = y и фиксируя царящее здесь отношение между x и y, мы и в сфере инобытия данной трансцедентности найдем это отношение непоколебленным (а производная и есть закон инобытийного соотношения аргумента и функции). Таким образом, разгадка производной от функции ex заключается в инобытийной эманативности трансцедентного.

8.

Наконец, уясняется из всего предлагаемого учения и подлинное диалектическое место логарифма. Если логарифм числа есть показатель степени, в которую нужно возвысить e, чтобы получить число, то ясно, что логарифм указывает на некоторый метод инобытийного роста e, т.е. на тот или иной способ эманации трансцедентного. Это есть как бы фиксация возраста инобытия, возрастающего в результате трансцедентных эманаций, или скорости его возрастания. Тригонометрические функции раскрывают нам размер и направление эманативной перспективы, логарифмическая функция говорит нам о скорости ее нарастания. Наконец, простая показательная функция свидетельствует о скорости или возрасте инобытия, эманированного вообще из недр какого бы то ни было числа.

Разумеется, различение Неперовых и Бригговых логарифмов[63] не может иметь принципиального значения для настоящего исследования, и его не следует тут обсуждать.

§ 113.

Гиперкомплексное число

(общее понятие)

1.

a) Алгебраическое число есть число, соотнесенное с своим инобытием и, следовательно, некоторым образом включающее его в себя. Включение это совершается здесь, как мы знаем, только в принципе, только потенциально. Поскольку инобытие мыслится здесь как простой, неразвернутый акт полагания, постольку оно в принципе есть целость, целое число. Следовательно, алгебраическое число есть потенция целого числа. Всякое число, которое в результате конечного числа операций может стать целым числом, есть число алгебраическое.

Диалектической противоположностью его является число трансцедентное. В нем вмещается его инобытие уже не только потенциально, а еще и энергийно. И это потому, что само инобытие дано тут не в виде голого бытия или полагания, но в виде полагания, перешедшего в становление, в развернутое инобытие, так что оно стало здесь инобытием инобытия, становлением становления. Когда число самой своей структурой свидетельствует о том, что оно может быть получено только путем учета этого многомерного становления, то это число есть трансцедентное. Уже простая иррациональность не может быть получена при помощи конечного числа операций. Но все же путем различных операций ее можно привести к целому числу, если отказаться от непосредственного его вычисления. Трансцедентное же число есть усложненная иррациональность, – как мы говорим, «многомерная», – и поэтому, даже отказываясь от непосредственных вычислений, мы не в состоянии свести его на целое число. «Свести на целое число» – это ведь значит иметь для данного числа инобытие только как простую положенность, а тут она как раз не простая, а «многомерная».

Трансцедентное число всегда есть предел. Оно и не может не быть пределом, потому что иначе оно расплылось бы в многомерной иррациональности и мы не имели бы никакого закона необходимого тут становления становления, т.е. не имели бы и самого трансцедентного числа. Поэтому, если угодно, уже наличие в трансцедентном предела есть начало синтеза трансцедентности и алгебраичности. Алгебраическое число – устойчиво, неподвижно. Стихия инобытийного становления дана тут только принципиально, а не фактически. Трансцедентное же число все бурлит этим сложным становлением, и если бы тут было только это последнее, то оно набросилось бы на трансцедентность и увлекло бы его в свою бездну. Однако трансцедентность, несмотря на вмещаемый в себя вихрь становления, пребывает неподвижно в самом себе, она управляет этим становлением и дает ему закон. Достигается это тем, что трансцедентность есть предел.

Но, конечно, наличие предела в трансцедентном не есть еще синтез трансцедентной инобытийной подвижности и алгебраической устойчивости. Предел входит в самую конструкцию трансцедентного и потому вовсе не есть какой-нибудь, но входит вместе со всем становлением трансцедентного в антитезу к числу алгебраическому. Зато гораздо более явным синтезом является мнимая степень трансцедентности. В самом деле, поскольку мнимая степень трансцедентности не есть само трансцедентное, может подняться вопрос о том, не является ли она некоторым синтезом.

Несомненно, некоторым синтезом она является. Если синтез бытия и становления должен положить бытийную границу для становления, то ведь мнимая степень трансцедентности, видели мы, получая комплексное истолкование, превращается в идеально выразительную образность трансцедентного, в его смысловое, эманативное оформление. Несомненно, начало покоя залегает в этом аспекте трансцедентного, и покоя не в смысле только предела (которого тут и без того не может не быть), но покоя в смысле зацветения не бывшими до тех пор телесно-изобразительными энергиями.

b) Однако можно ли это считать окончательным синтезом трансцедентного и алгебраического? Всматриваясь в него, мы начинаем замечать здесь совершенно отчетливые признаки ставшего. Ведь ставшее тоже есть синтез бытия и становления, хотя и не окончательный синтез. Здесь расплывающееся становление, сдерживаемое раньше только пределом, превращается в самостоятельную структуру, а не просто упорядочивается извне (как это способен делать предел). Раз из становления рождаются твердые очертания и отдельные его струи затвердевают в смысловую образность и фигурность, то, конечно, здесь перед нами синтез бытия и инобытия. Но необходимо твердо зафиксировать: комплексно понимая[64], мнимая степень трансцедентного есть только начало этой образности, начало этой самостоятельной фигурности, которая вмещает в себе и алгебраическую устойчивость, потенциальность, и трансцедентную энергийность. Для полного синтеза необходимо полное исчерпание как всего категориального содержания алгебраичности, так и всего категориального содержания трансцедентности – это возможно не по категории ставшего, но по категории выражения. Можно ли сказать, что то и другое исчерпано в комплексном представлении мнимой степени трансцедентного? Конечно, нет. Алгебраичность есть потенция целого. Следовательно, потенция целого должна войти в наш синтез. Тем не менее комплексная величина представляется нами на плоскости, т.е. она берет только один из возможных элементов пространства и не берет его целиком. Правда, поскольку в алгебраическом числе речь идет не о целости как таковой, но о потенции целости, вовсе не обязательно фиксировать какое-нибудь определенное пространство и отбрасывать все прочие. Тут необходимо дать принцип перехода из одного измерения в другое, не ограничивая себя никаким заранее данным количеством измерений. С другой стороны, трансцедентность есть эманативная энергия инобытия, становления. Осуществлено ли это в комплексном числе? Тут