Диалектические основы математики - Алексей Федорович Лосев

сразу начинаем догадываться, что если угол POA считать за x, то OM есть cos x, а MP есть sin x (или, имея в виду концепцию Гаусса, MP = isin x). Отсюда нетрудно вывести и формулы Эйлера. Мы получаем окончательно:

cos x = (exi + e–xi)/2,

sin x = (exi – e–xi)/2,

что имеет вполне ясный не только аналитический, но и геометрический смысл (поскольку exi есть не что иное, как OP, а e–xi есть OP1).

В чем же, теперь, философский смысл этих формул Эйлера?

b) Обратим прежде всего внимание на то, что мнимая степень e может быть понята как комплексное число. Другими словами, всякое комплексное число может быть понято как мнимая степень e, т.е. как выразительная эманация трансцедентного. Но комплексное число, как мы знаем (§ 107), есть перспективный символ. Следовательно, всякая перспектива обязательно таит в себе эманацию трансцедентного; и трансцедентное эманирует, в выразительном смысле, перспективно. Когда мы имеем просто е, то перед нами тут некое бытие, овеянное тающими энергиями смысла, но эти энергии еще положены как выразительный образ. Когда же мы имеем мнимую степень e, то исходящие из него смысловые энергии складываются в некую образную положенность, в некое выразительное самообрекание, и это есть перспективная структура эманации трансцедентного. Всматриваясь в эту перспективную выразительность, мы отчетливо видим начальный пункт этой перспективы и отчетливо видим ее конечный пункт. Также перспектива существует только там, где видны малейшие изгибы перспективных линий и зрительно-выразительная судьба всей вещественной предметности, втянутой в эту перспективу. Когда трансцедентное реально изливается в инобытие, оно превращает свою идеально выразительную, смысловую перспективу в вещественную и субстанциальную стихию действительности; тогда оно теряет свою мнимость, спиралевидным вихрем изливаясь в реальность. Но пока оно не изошло вовне, а только еще бурлит в себе смысловыми энергиями самопроявления, оно содержит всю свою возможную инобытийную образность в своем собственном умном теле, содержит ее пока только лишь как цель, как идеал, как отраженную только в самой себе действительность. Но это и значит, что трансцедентное покоится в себе кругообразно, играя образами перспективных самоотражений. Тут-то и залегает целый ряд трансцедентных функций – тригонометрических, гиперболических, эллиптических, – из которых нас интересуют именно тригонометрические.

Из предыдущего ясно, что тригонометрический косинус в комплексном представлении мнимой степени e есть не что иное, как вещественная часть, а синус – коэффициент при мнимой части комплекса. Другими словами, линия косинуса является как бы тем началом, откуда мы считаем перспективу, а линия синуса – тем направлением, в котором мы созерцаем перспективу. Эманационно возникшая перспектива имеет ведь свою структуру, определяемую известным изгибом линий и тем или другим расположением точек. Синус есть измеритель расстояния перспективной точки от линии отсчета, как бы расстояние отраженной в зеркале точки от поверхности зеркала. Косинус же есть отображение перспективной точки на линии отсчета; это – проекция модуля комплексного числа на неподвижный радиус. Когда мы имеем просто exi, мы, с увеличением x, все больше и больше раскрываем угол, т.е. все больше и больше выявляем внутреннее содержание круга, как бы все больше и больше захватываем пространство в идеально выразительном теле трансцедентности, все шире и шире заполняем эманацию трансцедентного выразительным оформлением. Ясно, что здесь начинает рисоваться образ трансцедентности, который как-то должен быть зафиксирован и зафиксирован не мертво и устойчиво, но – энергийно, в точной связи с раскрываемым эманационным содержанием. Тригонометрические функции как раз и призваны дать ориентацию в этом эманационном образе трансцедентного. Синус указывает на размеры и направление раскрывающейся в этом образе перспективности, а косинус интерпретирует ее с точки зрения ее исходного пункта. Синус – это перспектива с точки зрения ее конечного пункта, а косинус – перспектива с точки зрения ее начального пункта.

c) В настоящем месте нашего исследования мы, однако, не станем развивать подробно теорию тригонометрических функций, так как их удобнее будет рассмотреть в другом месте. Ясно, что если мы усвоили себе этот исходный пункт, то можно будет подвергнуть философской интерпретации и прочие четыре тригонометрические функции, так как тангенс есть только отношение синуса и косинуса, а котангенс, секанс и косеканс есть только обратные функции соответственно тангенса, косинуса и синуса. Но нам необходимо было прикоснуться к тригонометрическим функциям хотя бы слегка, чтобы проследить диалектическую судьбу трансцедентного числа e.

6.

К вышеизложенному я бы прибавил еще очень важное заключение, дающее возможность проверить и уточнить наше рассуждение о трансцедентном. Если мы в комплексном выражении exi будем понимать x = π, т.е. как численную величину угла в 180°, то, принимая во внимание, что cos 180°= –1, a sin 180°= 0, мы получим

eπi = – 1, e2πi = 1.

Как ни элементарно это заключение математически, в философском отношении оно чрезвычайно инструктивно для суждения о e, π и i. Предоставляя читателю самому продумать эти <…>[62] на основании предложенной формулы, мы укажем только на то, что единственный путь к их осмысленному применению вместо обычной математической схоластики заключается в идее разделения круга на равные части, т.е. в идее вращения радиуса на те или иные углы. А это есть идея раскрытия внутреннего содержания круга в виде смыслового образа, т.е. идея завершенной идеально выразительной эманации трансцедентного. Эманация ведь, как мы вывели выше (п. 4b), совершается или спиралевидно, или кругообразно. Тот и другой символ эманации предполагает какой-нибудь исходный пункт, или начало эманационного отсчета, и предполагает ту или иную его эволюцию. Принимаем, как это естественно, исходный пункт за единицу. Тогда органический рост образности нашего трансцедентного окажется не чем иным, как органическим ростом, т.е. возведением в ту или иную степень, числа e. При x = 0 мы получаем exi = 1. Это – начало отсчета. Но, возводя число e все в большую и большую степень, мы все больше и больше раскрываем содержание трансцедентного и, раскрывши его, опять приходим к начальному, исходному пункту, т.е. к 1. Мы видим, следовательно, что эманация кругообразно обволакивает своими смысловыми энергиями неявленную сущность трансцедентного. Отсюда и идея периодичности трансцедентных функций. Отсюда и колоссальная важность числа 2πi или πi в теории функций вообще (с чем мы еще встретимся в своем месте), т.е. того, что можно было бы понять как окружность с мнимым радиусом, или как вообще идею фигурной замкнутости бытия.

7.

Укажем еще на философский смысл того обстоятельства, что производная от функции ex равняется тому же самому ex. В