Диалектические основы математики - Алексей Федорович Лосев

числа x и a не могут быть одновременно алгебраическими числами (кроме x = 0, т.е. a = 1). Иначе e в алгебраической степени было бы алгебраическим числом, что после теоремы исключается. Значит, если мы имеем показательную функцию от алгебраического аргумента, то она оказывается числом трансцедентным. Точно так же натуральный логарифм алгебраического числа обязательно есть тоже трансцедентное число. Кроме того, А. Гельфонд доказывает, что ωi, где ω – алгебраическое число, тоже трансцедентно[61]. Но из соотношения 1 + eπi = 0 следует, что (–1)i = e–π. Следовательно, по Гельфонду, e–π тоже трансцедентно. Но также трансцедентно и eπ.

2.

Все эти заключения (и подобные им) таят под собою ряд неосознанных интуиций, без вскрытия которых невозможно философское понимание предмета.

a) Прежде всего зададим себе вопрос: что значит вообще степень трансцедентного числа? Как будет особо разъяснено ниже, в § 118, возведение числа в степень есть его алогический органический рост. Возвести число в степень – это значит повторить его как именно его самого в каждом его отдельном моменте, воспроизвести его самого в каждом отдельном моменте. Органический рост, это и есть возведение в степень. Но как же это возможно в отношении трансцедентного числа? Ведь трансцедентное число уже вмещает в себе все свое инобытие, т.е. все свои возможные инобытийные самовоспроизведения. О каком же еще воспроизведении может идти речь?

Тут мы должны вспомнить, что трансцедентное число вовсе не есть застывшая в себе данность, хотя бы эта данность и была полной. Трансцедентное число есть переполнение числа своим инобытием, излияние числа в инобытие, выразительная эманация числа. Отсюда – степень трансцедентного числа только и можно понимать как результат его эманации в инобытии, т.е. как установление какого-нибудь нового числа, инобытийного в отношении данной трансцедентности.

b) Рассуждая таким образом, мы можем получить – в качестве результата эманации трансцедентного, – во-первых, опять все такое же трансцедентное число. Что это значит? Это значит, что из данной трансцедентности эманировало бытие, которое, ставши таковым (т.е. инобытием в отношении данной трансцедентности), само возымело в свою очередь трансцедентные особенности и само стало способным к порождению эманации. Результатом эманации может быть, во-вторых, и алгебраическое число. Когда трансцедентное число возводится в трансцедентную степень, мы получаем алгебраическое число. По-видимому, тут происходит двойная эманация: с одной стороны, эманирует из данной трансцедентности новая, инобытийная, а с другой – поскольку первоначальная трансцедентность возводилась в трансцедентную же степень, то данной эманации хватило не только на продуцирование новой трансцедентности, но и на дальнейшее продуцирование еще алгебраического числа из этой новой трансцедентности. Наконец, результатом эманации может быть и комплексное число. Здесь мы, кажется, тоже имеем дело с двойной эманацией, когда эманированный продукт не только есть инобытие, трансцедентное или алгебраическое, но это инобытие еще и приняло новую форму, именно комплексную.

Итак, та или иная степень трансцедентного числа e есть не что иное, как тот или иной результат эманации числовой трансцедентности.

Изучим некоторые явления из этой области.

3.

a) Число e, возведенное в вещественную степень и легко представляемое в виде бесконечного ряда типа Маклорена, для нас менее интересно. Гораздо интереснее здесь мнимые степени. Возводя трансцедентное число в мнимую степень, мы не получаем никакой несуразности и никакого бесполезного нагромождения схоластических терминов, как это всегда кажется неискушенным в диалектике мыслителям. Тут на помощь приходит сама математика, давая замечательные построения в виде Эйлерового представления тригонометрических функций с помощью мнимых степеней e. Схоластика оборачивается рядом самых обыкновенных и даже самых элементарных математических построений.

b) Именно, если мы возьмем exi, разложим его в ряд, отделим вещественные и мнимые члены, то вещественная часть окажется не чем иным, как разложением cosx, а коэффициент при мнимой части – не чем иным, как разложением sinx, и мы, таким образом, получаем:

exi = cosx + isinx.

Уже это одно замечательное построение способно вызвать у философствующего некоторый восторг ума. В самом деле, ведь мы же только возводили e в мнимую степень. Откуда же это вдруг всплыли тригонометрические функции?

Прежде всего формулируем, что такое мнимая степень трансцедентности, – независимо ни от каких формул Эйлера.

Мы уже знаем (§ 111а), что степень указывает на органический рост возводимого в степень. Стало быть, трансцедентное должно органически расти и самовоспроизводиться. В какую же сторону оно должно расти? Об этом говорит мнимый показатель степени. Но что такое мнимость? Мнимость есть чисто смысловое оформление вещи (§ 104). Значит, трансцедентность должна расти в сторону своего чисто смыслового оформления; трансцедентное испускает из себя эманацию чисто смыслового оформления и воспроизводит себя в нем, как бы покрывает себя прочной броней оформления, облекается в некое внешнее одеяние, облекается выразительным и твердо ощутимым телом. Выразительно-телесная форма как результат эманации трансцедентного – вот что такое мнимая степень трансцедентного.

Что же теперь дает тут математика?

c) Аналитический вывод связи тригонометрических функций с мнимой степенью e указан выше, и он не только внешне элементарен, но он в такой же степени и загадочен и требует какого-нибудь осмысленного уразумения. Нужно сознаться, что математическая схоластика и формализм в данном вопросе особенно постарались сделать свой предмет непонятным, в результате чего формулы Эйлера, можно сказать, просто никто из математиков не понимает, хотя вывести их доступно школьнику.

Попробуем представить себе мнимую степень e геометрически (Клиффорд). Для этого представим себе, что радиус круга OP, равный единице, своим вращением образует угол QOP, величина которого очень мала. Так как дуга

QP = OP · ∟QOP,

а OP, по условию, равно единице, то длина QP, возникшая в результате вращения радиуса OP, есть не что иное, как просто числовая величина угла QOP. Здесь, однако, мы должны вспомнить то, что мы вывели из гауссовского представления мнимых величин (§ 106). Именно, эту величину QP мы можем представить не прямо как таковую, а с точки зрения радиуса OP, т.е. мы будем считать, что в результате своего вращения радиус OP не только поворачивается на определенный угол, но еще и получает некоторое приращение QP, растягивается на величину QP. Поскольку угол QOP очень мал, мы можем QP считать перпендикуляром к OP, и тогда, по Гауссу, это QP окажется мнимой величиной. Итак, QP = ∟QOPi. А принимая угол QOP тоже за единицу, мы можем сказать:

если радиус круга, равный единице, поворачивается на угол, тоже равный единице, то он испытывает растяжение на √–1, что и является длиной образуемой здесь дуги