Диалектические основы математики - Алексей Федорович Лосев

«основание» есть тот корень, из которого происходит фиксируемый в данном случае рост. Когда число (1+ 1/n) возводится в n-ю степень, это значит, что в данном случае исходная величина органически растет по закону «n», и растет при этом из e. А так как n мыслится здесь становящимся, то каждый раз, т.е. для каждого числа, мы имеем тот или иной вид e, возведенный в соответствующую степень.

Число e есть, мы сказали, набухшая и отяжелевшая единица. Возвести ее в ту или иную степень – значит подчинить ее дальнейшему росту, но росту уже не в смысле дальнейшего разбухания (оно невозможно, так как e уже вместило в себя всю свою инобытийную бесконечность), но росту в смысле оформления по закону того или иного n, т.е. росту в смысле превращения набухающей и напирающей стихии в ту или [иную] положенность и утвержденность в инобытии, как того требует данный показатель степени. Возвести, напр., в ту или иную степень – значит заставить данное число преобразиться так, чтобы оно данное именно число раз повторило себя самого, т.е. отразило на себе эту степень как закон и структуру своего развития. Значит, и нарастающее число e, будучи возводимо в ту или иную степень, переходит уже в инобытие, отражает там на себе эту закономерность, зафиксированную в показателе степени, инобытийно воспроизводится и тем самым теряет энергийно источающуюся стихию смыслового набухания, превращая ее в ту или иную систему инобытийных положенностей. В самом e положенность и утвержденность дана вместе со всей стихией своего энергийно расцветшего становления. Когда же e возведено в ту или иную степень, то e развивается в направлении упорядочения и рационализации энергийного становления уже инобытийного числа; это энергийное становление получает структуру числовых полаганий, зафиксированных в показателе степени; и мы получаем инобытийное алгебраическое число, но уже как результат эманации из трансцедентного. Это и значит, что число e, возведенное в ту или иную степень, даст нам то или иное конечное число. И вот почему оно – основание тех логарифмов, которые с полным правом можно назвать натуральными логарифмами. Вот почему наиболее естественно именно такое основание, хотя на первый взгляд оно и кажется чересчур сложным, чтобы быть естественным. Рассматривая всякое число через натуральный логарифм, мы рассматриваем его как эманацию трансцедентности.

7.

a) До сих пор мы занимались одной основной формой эманации трансцедентного, или наполненного, предела e. Существует, однако, еще два основных предела, связанных с e чисто диалектически, хотя в математике они выражены в более частном виде. Чтобы их назвать, продолжим нашу диалектику предела.

Мы имели предельную эманацию вообще, и мы получили предел в его конкретной явленности. Дальнейшая диалектика, т.е. дальнейшее противопоставление новому инобытию, должна привести к переконструированию полученной конкретно-явленной эманации. Отличая от нового инобытия и проводя, как обычно, границу, отделяющую этот конкретно-явленный предел от окружающего его инобытия, мы, по общим законам диалектики, получаем данную эманативную выраженность уже как некую дробимую величину, получаем различенность и, след., оформленность внутри нее самой. Наша энергийно-софийная субстанция единичности должна получить определенное оформление, в то время как до сих пор речь шла только об ее сущностном становлении вообще. Сущностное становление должно превратиться в сущностно ставшее, и тогда перед нами предстанет единичность не только как энергийность вообще, но как определенным образом очерченная и сформированная энергийность. Становление – всегда растекается; и сущностное становление, отличаясь от вещественного отсутствием убыли и дробления, совершенно не отличается от него своим алогизмом и непрерывно-сплошной текучестью. Подобно тому, как бытие и небытие в синтезе дают становление, само становление и новое инобытие дают ставшее. Противоположность становления ведет его к остановке, но не к той остановке, которая есть уже в первоначальной категории бытия (тут, собственно говоря, не остановка становления, а его полное отсутствие), а к той остановке, которая есть результат становления и вмещает его в себя в виде порожденных им новых смысловых моментов. Поэтому ставшее и есть синтез становления и его (принадлежащего становлению) инобытия. А ставшее в области чисто смысловой есть то, что получилось в результате становления смысла, в результате движений, происходящих в сфере смысла. Движение же и становление смысла есть, как мы хорошо знаем, его разрисовка, возникновение очертаний, фигуры, рождение смыслового лика и цельного образа. Поэтому ставшее в области смысла есть смысловая, умная очерченность и фигурность, оформленность как явленный лик и образ. Эта фигурность и образность может быть дана с разной степенью самостоятельности.

b) Яснее всего и ближе всего к полученной структуре предела e является тот предел, который всецело еще связан с внутренним содержанием энергийно-софийной единицы, но который уже рисует отношение этого содержания к возможной его очерченности, или границе. Это отношение получает разную форму в зависимости от того, в каком виде или, вернее, в какой степени мы будем брать эту очерченность, или границу. Если мы хотим взять диалектическую противоположность энергийно-софийной единицы, то мы не можем воспользоваться уже готовой очерченностью этой единицы. Готовая и полная, цельная очерченность свидетельствует скорее о некоем синтезе, чем об антитезисе. Противоположностью для энергийной единицы является ее граница, но не полная и законченная, а граница, данная в своем становлении и даже лучше, если – в своем возникновении. С другой стороны, эта граница, законченная или возникающая, не может тут браться в своей голой изолированности, подобно тому, напр., как такой границей являлся нуль (граница положительного и отрицательного числа). Там мы брали голую положенность числа, и в зависимости от этого граница была тоже как бы голая и внутренне пустая. Здесь же мы взяли положенность числа вместе с его богатым, и притом совершенно специфическим, содержанием. Оттого и граница явится здесь более густой; она связана с внутренним содержанием числа и есть не что иное, как особый тип отношения принципа границы к построению внутреннего содержания.

c) Спрашивается: если понимать число как внутренне энергийно-наполненную стихию и брать очертание этой стихии, не упуская из виду ее внутреннего содержания, то в каком виде должна предстать эта граница и какое отношение существует между так понимаемой возникающей границей и так понимаемым возникающим содержанием?

Ответом на этот вопрос является одно из самых элементарных положений общей диалектики. Пока нет границы, гласит это положение, нет никакого отличия от инобытия, а пока нет никакого отличия от инобытия, нет и того, что именно отличается от инобытия, нет самого предмета определения. Проведение границы для ограничиваемого, стало быть, есть первое создание самого этого ограничиваемого, первое его зарождение и появление. Когда проведена граница, граница не есть ограничиваемое, но, когда она только еще проводится, она